Der Satz von Gauß Integral Rechnen

Question

Aufgabe:Sei \( v=(2,-3, x) \) und sei \( K \) der durch die vier Ebenen \( z=6-3 x-2 y \) sowie \( z=0, y=0 \) und \( z=0 \) begrenzte Körper.
1. Formulieren Sie den Satz von Gauß and berechnen Sie den Fluss bezüglich v durch die Oberfläche des Körpers \( K \).

Der Satz von Gauß lautet:
\( \begin{array}{l} \iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}=\iiint_{V} \nabla \cdot \vec{F} d V \quad . V=(2,-3, x) \\ \operatorname{div} \vec{v}(x, y, z)=\frac{\partial v 1}{\partial x}(x, y, z)+\frac{\partial v_{2}}{\partial y}(x, y, z)+\frac{\partial v_{3}}{\partial z}(x, y, z) \\ 0+0+0=0 \\ \end{array} \)

Problem/Ansatz:Hallo zusammen!

Hier finde ich, dass die Divergenz 0 ist. Ich habe keine Ahnung wie ich da noch vorgehen soll.
Danke für eure Hilfe!

Answer 1

Wenn die Divergenz 0 ist, freust du dich ganz sehr, und schreibst neben dem Oberflächenintegral das Ergebnis 0 hin.

Das ist ja gerade der Witz, dass du das Flächenintegral nicht mehr ausrechnen musst, weil dir der Satz von Gauß sagt, dass dieses gleich 0 ist.

Nochmal zur Erinnerung:
Die Divergenz entspricht den Quellen und Senken des Vektorfeldes innerhalb von K.

Der Satz von Gauß sagt dir nun Folgendes:

Der Gesamtfluss des Feldes durch die Oberfläche von K (also alles was rein- und herausgeht) ist gleich dem Fluss, der innerhalb von K durch die dortigen Quellen erzeugt bzw. von den dortigen Senken "verschluckt" wird.