Hallo,
ich schreibe mal f statt psi. Dein Ansatz ist richtig. Wir zeigen jetzt, dass f ein Minimum hat. Dazu sei
$$D:=\{x \in \R^n \mid f(x) \leq f(0)\}$$
Wenn f bei p ein Minimum hat, dann gilt \(f(p) \leq f(0)\), also liegt p in D. Wir brauchen ein potentielles Minimum nur in D suchen.
Nach Definition ist D abgeschlossen. Wir zeigen, dass es auch beschränkt ist und damit kompakt. Dazu verwenden wir die Voraussetzung an h mit \(C:=\sqrt{2|h(0)|}\). Dann gitl mit dem zugehörigen R: Aus \(|x| \geq R\) folgt \(f(x)=|h(x)|^2 \geq 2|h(0)|^2=2f(0)\). Also liegt D in der Kugel um den Nullpunkt mit Radius R.
Damit sagt der Satz von Weierstrass, dass f ein Minimum bei einem p in D hat.