Umkehrfunktion f=(x/(x^2+y^2),y/(x^2+y^2))

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von

\( f(x, y)=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) \)

Problem/Ansatz:

Dass die Funktion global invertierbar ist, habe ich schon gezeigt, aber bei der Umkehrfunktion komme ich leider keinen Schritt weiter.

Vielleicht kann mir jemand helfen.

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

$$f_1^2+f_2^2=\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2+\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2=\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{1}{x^2+y^2}$$$$f_1=\frac{x}{x^2+y^2}=x\cdot\frac{1}{x^2+y^2}=x\left(f_1^2+f_2^2\right)\;\;\Leftrightarrow\;\;x=\frac{f_1}{f_1^2+f_2^2}$$$$f_2=\frac{y}{x^2+y^2}=y\cdot\frac{1}{x^2+y^2}=y\left(f_1^2+f_2^2\right)\;\;\Leftrightarrow\;\;y=\frac{f_2}{f_1^2+f_2^2}$$Offenbar ist die Umkehrfunktion die Funktion selbst:$$(x,y)=f^{-1}(f_1,f_2)=\left(\frac{f_1}{f_1^2+f_2^2}\;;\;\frac{f_2}{f_1^2+f_2^2}\right)=f(f_1,f_2)$$

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Vielen Dank :)