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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von

f(x,y)=(xx2+y2,yx2+y2) f(x, y)=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)


Problem/Ansatz:

Dass die Funktion global invertierbar ist, habe ich schon gezeigt, aber bei der Umkehrfunktion komme ich leider keinen Schritt weiter.

Vielleicht kann mir jemand helfen.

Vielen Dank

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Aloha :)

f12+f22=(xx2+y2)2+(yx2+y2)2=x2+y2(x2+y2)2=1x2+y2f_1^2+f_2^2=\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2+\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2=\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{1}{x^2+y^2}f1=xx2+y2=x1x2+y2=x(f12+f22)        x=f1f12+f22f_1=\frac{x}{x^2+y^2}=x\cdot\frac{1}{x^2+y^2}=x\left(f_1^2+f_2^2\right)\;\;\Leftrightarrow\;\;x=\frac{f_1}{f_1^2+f_2^2}f2=yx2+y2=y1x2+y2=y(f12+f22)        y=f2f12+f22f_2=\frac{y}{x^2+y^2}=y\cdot\frac{1}{x^2+y^2}=y\left(f_1^2+f_2^2\right)\;\;\Leftrightarrow\;\;y=\frac{f_2}{f_1^2+f_2^2}Offenbar ist die Umkehrfunktion die Funktion selbst:(x,y)=f1(f1,f2)=(f1f12+f22  ;  f2f12+f22)=f(f1,f2)(x,y)=f^{-1}(f_1,f_2)=\left(\frac{f_1}{f_1^2+f_2^2}\;;\;\frac{f_2}{f_1^2+f_2^2}\right)=f(f_1,f_2)

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