Wo ist die Funktion f(x,y)= (cos(x)cosh(y), -sin(x)sinh(y)) lokal invertierbar? Umkehrfunktion?

Question

Aufgabe:

Funktion sei von R² -> R² definiert durch: f(x,y)= (cos(x)cosh(y), -sin(x)sinh(y)).

Nun sollen wir alle Punkte bestimmen, in denen f Lokal invertierbar ist.

Desweiteren wird gefragt, ob diese auch global invertierbar ist und ggf. soll die Umkehrfunktion mit angegeben werden.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es zunächst die Jacobi-Matrix zu bestimmen und anschließend deren Determinante zu bestimmen, aber leider komme ich da nicht wirklich weiter.

In der Vorlesungen haben wir noch nicht wirklich viel dazu behandelt, deswegen fällt es mir gerade bei der Funktion sehr schwer.

Gibt es hierbei eine Art Kochrezept beim Vorgehen?

Answer 1

Hallo, für die Jacobi-Matrix gilt folgendes \(\displaystyle Df(x,y)=\begin{pmatrix} -\sin x\cosh y & \cos x\sinh y \\ -\cos x\sinh y & -\sin x\cosh y \end{pmatrix}\).

Die Determinante ist dann \(\displaystyle\det(Df(x,y))=\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y\).

Mit \(\displaystyle\cosh^2y=1+\sinh^2y\) kommst du dann auf

\(\displaystyle\det(Df(x,y))=\sin^2x+(\sin^2x+\cos^2x)\sinh^2y=\sin^2x+\sinh^2y\).

Jetzt musst du noch betrachten, für welche Punkte (x,y) die Determinante nicht 0 ist.

Comments

Super, vielen Dank.

Und wie würde ich jetzt die Umkehrfunktion bestimmen?

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Erstmal müsstest du zeigen, dass die Funktion bijektiv ist.

Das scheitert schon an der Injektivität und somit kannst du auch keine Umkehrfunktion angeben. Nach einer lokalen Umkehrfunktion ist in der Aufgabe, soweit ich sie verstehe, nicht gefragt.

Tipp: Betrachte \(\displaystyle\left(\frac{\pi}2,0\right),\left(-\frac{\pi}2,0\right)\).

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Vielen vielen Dank.