Beweise es gibt h(p)=0

Question

Aufgabe:Sei h:

R^N → R^N differenzierbar. Definiere ψ: R^N → R durch ψ(x) := |h(x)|2. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass gilt ∇ψ(x) = 2Dh(x)th(x). Zeigen Sie: Ist Dh(x) für alle x ∈ R^N invertierbar und gilt |h(x)| → ∞ für |x| → ∞, dann gibt es ein p ∈ R^N mit h(p) = 0. Erinnerung: Es bedeutet |h(x)| → ∞ f¨ ur |x| → ∞, dass f¨ ur jedes C ≥ 0 ein R ≥ 0 existiert, sodass f¨ ur alle x ∈ RN mit |x| ≥ R gilt |h(x)| ≥ C.

Problem/Ansatz:

Meine Idee ist zu versuchen zu zeigen, dass ψ ein Extremum hat. Dann gäbe es ein p, sodass der Gradient null wäre und dann müsste h(p) null sein, weil Dh invertierbar ist, deshalb vollen Rang hat und der Kern von Dh deshalb nur aus dem Null Vektor bestehen würde. Ist dieser Ansatz richtig, also lasst sich überhaupt zeigen, dass ψ ein Extremum hat bzw. der Gradient von ψ für ein p null ist. Wenn ja wie könnte ich das denn tun.

Danke im Voraus

Comments

Korrektur : Definiere ψ: RN → R durch ψ(x) := |h(x)|^2

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal f statt psi. Dein Ansatz ist richtig. Wir zeigen jetzt, dass f ein Minimum hat. Dazu sei

$$D:=\{x \in \R^n \mid f(x) \leq f(0)\}$$

Wenn f bei p ein Minimum hat, dann gilt \(f(p) \leq f(0)\), also liegt p in D. Wir brauchen ein potentielles Minimum nur in D suchen.

Nach Definition ist D abgeschlossen. Wir zeigen, dass es auch beschränkt ist und damit kompakt. Dazu verwenden wir die Voraussetzung an h mit \(C:=\sqrt{2|h(0)|}\). Dann gitl mit dem zugehörigen R: Aus \(|x| \geq R\) folgt \(f(x)=|h(x)|^2  \geq 2|h(0)|^2=2f(0)\). Also liegt D in der Kugel um den Nullpunkt mit Radius R.

Damit sagt der Satz von Weierstrass, dass f ein Minimum bei einem p in D hat.