Hallo,
ich habe aktuell bei zwei Aufgaben Probleme mit der Anwendung des Satzes von Gauß.
\( 1) \begin{aligned} \vec{v}_{2}(x, y, z) \rightarrow\left(\begin{array}{c} 2 y \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) & A_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=4-x^{2}-y^{2}\right\} \\ \end{aligned} \)
\( \operatorname{div}\left(\vec{v}_{1} \right)=0 \)
Da die Divergenz gleich 0 ist bedeutet das nach Gauß, dass das Flussintegral auch gleich 0 ist. \(A_{1}\) ist aber nicht kompakt, also kann ich Gauß gar nicht anwenden... In der Aufgabenstellung wird aber explizit gesagt, dass Gauß zu verwenden ist. Evtl. ein Fehler in der Aufgabe?
\( 1) \begin{aligned} \vec{v}_{2}(x, y, z) \rightarrow\left(\begin{array}{c} 4 x \\ x^{2}+y \\ x z^{2} \end{array}\right) & A_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid u x^{2}+4 y^{2}+z^{2} \leq 1, y>0\right\} \\ \end{aligned} \)
Für die Anwendung von Gauß habe ich die Divergenz
\( \operatorname{div}\left(\vec{v}_{2} \right)=4+1+2 xz= 2xz+5 \)
und die Integralgrenzen bestimmt.
\( d A_{21}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid -\sqrt{4 x^{2}-4 y^{2}} \leq z \leq \sqrt{4 x^{2}-4 y}\right\} \)
\( \partial A_{22}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid -\sqrt{\frac{1}{4}-y^{2}} \leq x \leq \sqrt{\frac{1}{4}-y^{2}}\right\} \)
\( \partial A_{23}=\left\{y \in \mathbb{R} \mid 0 \leq y \leq \frac{1}{2}\right\} \)
Unter Verwendung von Gauß komme ich auf folgendes Integral welches nur mit Wolfram Alpha zu lösen ist:
\( \int \limits_{\partial A_{2}}<\vec{V}_{2}(\vec{x}) ; \vec{n}(\vec{x})>d \sigma =\int \limits_{\partial A_{23}} dy \int \limits_{\partial A_{22}} dx \int \limits_{\partial A_{21}} (2x+5) =\int \limits_{\partial A_{23}} dy \int \limits_{\partial A_{22}}^{z}dx\left[x z^{2}+5 z\right]^{z=\sqrt{4 x^{2}-y^{2}}}_{z=-\sqrt{4 x^{2}-y^{2}}} \)
\( =\int \limits_{\partial A_{23}} d y \int \limits_{\partial A_{22}} dx 10 \sqrt{4 x^{2}-y^{2}} \)
Ich habe bereits andere Grenzen ausprobiert, sowie versucht das ganze in Kugelkoordinaten darzustellen, komme dabei aber auch kein Stück näher an die Lösung. Habt ihr eine Idee wie ich hier vorzugehen habe?
Danke schonmal
Gruß wosw
