Warum ist der Satz von Fubini bei diesen beiden Funktionen nicht anwendbar?

Question

Aufgabe:
Gegeben seien die Funktionen
\( f(x, y)=(2-x y) x y e^{-x y} \text { auf }[0,1] \times[0, \infty) \)
und
\( g(x, y)=\frac{x-y}{(x+y)^{3}} \quad \text { auf }[0,1]^{2} . \)
Begründen Sie, warum sie zur Berechnung des Lebesgue-Integrals der beiden Funktionen den Satz von Fubini nicht nutzen dürfen.

Problem:
Ich weiß jetzt nicht so ganz, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll??

Grundsätzlich besagt der Satz von Fubini ja, dass die Funktion über dem gesamten Integrationsbereich integrierbar ist - ich müsste also stellen finden, wo die beiden Funktionen nicht integrierbar sind?

Außerdem ist doch der Integrationsbereich für \( f(x, y) \)  \( [0,1] \times[0, \infty) \), was einen unbeschränkten Bereich in \( y \)-Richtung darstellt.

Danke für Hilfe im Voraus :)
LG Euler

Comments

Der Satz von Fubini bzw. Satz von Fubini-Tonelli ist mir folgendermaßen bekannt:

Sei \( \mu \) ein reguläres Maß auf \( \mathbb{R}^{N} \) und \( \nu \) ein reguläres \( \mathrm{Maß} \) auf \( \mathbb{R}^{M} \). Dann gilt:

(1) \( \mu \times \nu \) ist ein reguläres \( \mathrm{Maß} \) auf \( \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{M} \);

(2) Ist \( A \mu \)-messbar in \( \mathbb{R}^{N}, B \nu \)-messbar in \( \mathbb{R}^{M} \), so ist \( A \times B \mu \times \nu \)-messbar in \( \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{M} \) und es gilt
\( \mu \times \nu(A \times B)=\mu(A) \nu(B) \)

(3) Ist \( C \mu \times \nu \)-messbar und \( \sigma \)-endlich bezüglich \( \mu \times \nu \), so sind für \( \mu \)-fast alle \( x \in \mathbb{R}^{N} \) die Schnitte \( { }_{x} C:=\left\{y \in \mathbb{R}^{M}:(x, y) \in C\right\} \nu \)-messbar und für \( \nu \)-fast alle \( y \in \mathbb{R}^{M} \) die Schnitte \( C_{y}:=\left\{x \in \mathbb{R}^{N}:(x, y) \in C\right\} \mu \)-messbar, und das \( \mathrm{Maß} \) von \( C \) lässt sich berechnen durch Integration der Schnitte:
\( \mu \times \nu(C)=\int \limits_{\mathbb{R}^{M}} \mu\left(C_{y}\right) \mathrm{d} \nu(y)=\int \limits_{\mathbb{R}^{N}} \nu\left({ }_{x} C\right) \mathrm{d} \mu(x) \)

(4) Ist das Integral \( \int \limits_{\mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{M}} f \mathrm{~d}(\mu \times \nu) \) von \( f: \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{M} \rightarrow[-\infty, \infty] \) in \( [-\infty, \infty] \) definiert (z.B. falls \( f \geq 0 \mu \times \nu \)-messbar ist) und ist \( \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{M}: f(x, y) \neq 0\right\} \sigma \)-endlich bezüglich \( \mu \times \nu \) (z.B. erfüllt, wenn \( \int \limits_{\mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{M}} f \mathrm{~d}(\mu \times \nu) \) endlich ist), so lässt sich das Integral bezüglich des Produktmaßes durch iterierte Integration berechnen:
\( \begin{aligned} \int \limits_{\mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{M}} f \mathrm{~d}(\mu \times \nu) & =\int \limits_{\mathbb{R}^{N}}\left(\int \limits_{\mathbb{R}^{M}} f(x, y) \mathrm{d} \nu(y)\right) \mathrm{d} \mu(x) \\ & =\int \limits_{\mathbb{R}^{M}}\left(\int \limits_{\mathbb{R}^{N}} f(x, y) \mathrm{d} \mu(x)\right) \mathrm{d} \nu(y) . \end{aligned} \)

Answer 1

\(f\) (bzw. \(g\)) kann auch negative Werte annehmen, hier kannst du also Tonelli schonmal nicht anwenden. Um Fubini anzuwenden, brauchst du, dass \(f \in L^1(\mathbf{R}^2)\), also musst du überprüfen, ob

\(\begin{aligned}\int_{ \mathbf{R}^{2} } | f | \, d\lambda ^{ 2} < +\infty \end{aligned}\)

gilt. Nun kannst du zum Glück Tonelli's Theorem of \(|f|\) anwenden, also gilt

\(\begin{aligned}\int_{ \mathbf{R}^{2} } | f | \, d\lambda ^{ 2} = \int_\mathbf{R}\int_\mathbf{R}|f(x, y)| \, dx\, dy= \int_\mathbf{R}\int_\mathbf{R}|f(x, y)| \, dy\, dx.\end{aligned}\)

Du solltest also jeweils heraus bekommen, dass die Integrale von \(|f|\) und \(|g|\) nach unendlich "divergieren" (in den erweiterten reellen Zahlen sind sie also gleich \(+\infty\)).

Comments

Hallo Liszt,

Danke dir vielmals für deine rasche Antwort und die Erklärung zur Vorgehensweise ☺

LG Euler