Wie löst man so eine Aufgabe ? Können Sie lösen?

Question

Text erkannt:

Es sei für \( \alpha \in \mathbb{R}^{+} \)die Oberfläche \( S_{\alpha} \) der Menge
\( G_{\alpha}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant-x^{2}-y^{2}+\alpha+1\right\} \)
a) Die Oberfläche \( S_{\alpha} \) der Menge \( G_{\alpha} \) lässt sich aus drei Flächen zusammensetzen. Der Außenschale \( S_{A} \), der Mantelfläche \( S_{M} \) und der Bodenfläche \( S_{B} \).
Parametrisieren Sie alle Flächen und geben Sie die äußere Normale an.
b) Berechnen Sie das Flächenintegral bzgl. \( S_{A} \) und dem Skalarfeld
\( f(x, y, z):=x^{2}+y^{2} \quad, \quad f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \)
c) Ferner sei das Vektorfeld
\( V(x, y, z):=\left(x z, x^{2} y, y^{2} z\right)^{\top} \quad, \quad V: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \)
gegeben. Berechnen Sie \( \int \limits_{S_{\alpha}}\langle V, \mathbf{n}\rangle d s \), wobei \( \mathbf{n} \) den bezüglich \( G_{\alpha} \) nach außen weisenden Normaleneinheitsvektor beschreibt.

Aufgabe:

Es sei für G_α∈ R⁺ die Oberfläche S_α der Menge G_α:={(x,y,z)∈R³|x²+y²≤1,0≤z≤−x²−y²+α+1}

a) Die Oberfläche S_αder Menge G_α lässt sich aus drei Flächen zusammensetzen. Der Außenschale S_A, der Mantelfläche S_M und der Bodenfläche S_B.
Parametrisieren Sie alle Flächen und geben Sie die äußere Normale an.

b) Berechnen Sie das Flächenintegral bzgl. S_A und dem Skalarfeld f(x,y,z):=x²+y² , f: R³→R

c) Ferner sei das Vektorfeld V(x,y,z):=(xz,x²y,y²z),V : R³→R³
gegeben. Berechnen Sie ∫_Sα⟨V,n⟩ds, wobei n den bezüglich G_α  nach außen weisenden S_α
Normaleneinheitsvektor beschreibt.

Problem/Ansatz:

Comments

Das stammt ja nicht gerade aus dem 1. Semester? also solltest du doch wohl einiges davon können. Bitte sag genauer, wo deine Schwierigkeiten liegen-

lul

---

Wie schreibt man die Mengenform von diesen drei Flächen SA,SM,SB ? Wie parametrisiert man diese Flächen ?