Wert eines umfangreichen Bruches

Question

Wenn \( \frac{n^2+2}{m^2+2} \)=2, welchen Wert hat dann \( \frac{(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2}{(m-2)^2+(m-1)^2+m^2+(m+1)^2+(m+2)^2} \)?

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Interessanter wäre hier doch die Frage:$$\frac{n^2+2}{m^2+2} =2$$bestimme alle ganzzahligen Lösungen von \(m\) und \(n\).

Answer 1

Vereinfacht man den Bruch, erhält man \(\frac{5n^2+10}{5m^2+10}=\frac{n^2+2}{m^2+2}=2\).

Comments

Wie hast du vereinfacht? Wie geht man am geschicktesten vor?

Klammern auflösen ist wohl nicht der gesuchte Weg oder doch?

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Das sind ja alles binomische Formeln. Aufgrund der "Symmetrie" der Ausdrücke, heben sich die nicht quadratischen Terme gegenseitig auf, so dass man entsprechend \(5n^2\) erhält und eben die Summe der Quadrate von \((-2)^2\) bis \(2^2\). Zähler und Nenner auszumultiplizieren ist hier also tatsächlich sinnvoll und liefert dann auch sofort das Ergebnis.

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Wie hast du vereinfacht?

Leute, die binomische Formeln 'gewöhnt' sind, 'sehen' unmitelbar, dass $$(a+b)^2+(a-b)^2 = 2a^2+2b^2$$ist. Also ist $$(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2 \\\quad = 5n^2 + 2( 1^2+ 2^2)$$'Zwischenschritte' braucht es da keine mehr.

Klammern auflösen ist wohl nicht der gesuchte Weg oder doch?

doch schon, aber in 'intelligenter' Reihenfolge. Also nicht einfach stumpf hinschreiben, sondern überlegen, was passiert mit demn Termen mit \(n^2\), was passiert mit den Termen mit \(n\), usw.

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Wie hast du vereinfacht? Wie geht man am geschicktesten vor? Klammern auflösen ist wohl nicht der gesuchte Weg oder doch?

Ich empfehle Schülern immer: Einfach mal machen. Bei den einfachen Termen kannst du auch erstmal alle ausmultiplizieren.

$$\frac{(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2}{(m-2)^2+(m-1)^2+m^2+(m+1)^2+(m+2)^2} \newline = \frac{(n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + (n^2) + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)}{(m^2 - 4m + 4) + (m^2 - 2m + 1) + (m^2) + (m^2 + 2m + 1) + (n^2 + 4m + 4)} \newline = \frac{5n^2 + 10}{5m^2 + 10} \newline = \frac{n^2 + 2}{m^2 + 2}$$