Potenz; Basis und Exponent irrational

Question

Nenne eine Potenz mit irrationaler Basis und irrationalem Exponenten, deren Wert rational ist.

Comments

Soll man die Potenz nennen oder nur ihre Existenz nachweisen ?

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Interessant, dass eine vermutlich per Suchmaschine gefundene Antwort besser bewertet wird, als eine durch kurzes Nachdenken.

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Vermutlich deshalb, weil die andere Antwort dem geneigten Leser den Nachweis der Irrationalität von ln 10 überlässt.

Answer 1

(√2^√2)^√2 = √2^(√2*√2) = √2^2 = 2

mit allgemeinem Beweis der Existenz:

https://www.youtube.com/watch?v=GVq3Asf11yU

Answer 2

Nenne eine Potenz mit irrationaler Basis und irrationalem Exponenten, deren Wert rational ist.

e ist irrational, ln 10 auch.

\( e^{\ln 10} \) ist rational.

War das so simpel gedacht?

Comments

Ich vermute, es geht hier lediglich darum, dass die Potenz bestehend aus irrationaler Basis und irrationalem Exponenten nicht zwangsläufig irrational ist. Intuitiv könnte man ja davon ausgehen.

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Hast du Beispiel ohne Turm, als nur a^b?

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Diese Frage verstehe ich nicht

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Ich meine so etwas wie √a^√b, mit a, b,irrational, a=b sei erlaubt

Meine Vermutung: Das gibt es nicht.

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Deine Antwort setzt doch voraus, dass \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) irrational ist?

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Ja, genau, sowas meine ich.

Nenne eine Potenz mit irrationaler Basis und irrationalem Exponenten, deren Wert rational ist.

Es sollen aber nur 2 irrationale Zahlen sein, nicht die Potenz einer Potenz als Basis wie im Link, wo ein Potenzgesetz notwendig ist.

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Es sollen aber nur 2 irrationale Zahlen sein, nicht die Potenz einer Potenz als Basis wie im Link, wo ein Potenzgesetz notwendig ist.

Da gibt es jetzt zwei Möglichkeiten:

1) Die von dir beklagte "Potenz einer Potenz" ist in Wirklichkeit rational, damit wäre das Beispiel als nicht zutreffend abzulehnen.

2) Die Potenz einer Potenz ist eine irrationale Zahl. Dann ist sie die irrationale Zahl, die man als Basis für einen ebenfalls irrationalen Exponenten nehmen kann, um als Ergebnis eine rationale Zahl zu bekommen.

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Es sollen aber nur 2 irrationale Zahlen sein, nicht die Potenz einer Potenz als Basis wie im Link, wo ein Potenzgesetz notwendig ist.

Es steht nirgends, dass Basis und Exponent nicht auch Terme sein dürfen.

ln(10) wäre doch auch ein Term und nicht einfach nur eine Zahl. Oder möchtest du gerne bestimmen welche Terme erlaubt und verboten sind?

Selbst. √2 ist doch nur ein Term der eine irrationale Zahl ergibt.

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Oder möchtest du gerne bestimmen welche Terme erlaubt und verboten sind?

Nein, ich wollte nur wissen, ob es eine einfache Potenz wie √x^ √y gibt, die eine rationale Zahl ergibt, wenn x,y irrationale Zahlen wie e, pi, √2 sind bzw. einen Beweis, dass es solche Zahlen nicht gibt/ geben kann.

Das jede Zahl ein Term = math. Ausdruck ist mir bekannt.

Es steht nirgends, dass Basis und Exponent nicht auch Terme sein dürfen.

Ich beziehe mich nicht auf die Aufgabe. Es ist als Zusatzfrage gedacht.