Aufgabe:
Es gelten die Axiome einer absoluten, ebenen Geometrie \( (\mathcal{E}, \mathcal{G}, d,|\cdot|) \), ohne Parallelenaxiom. Sei \( M \) ein Punkt, \( \ell \) eine Gerade mit \( M \notin \ell, F \in \ell \) der Fußpunkt des Lotes von \( M \) auf \( \ell \), \( \varphi: \ell \rightarrow \mathbb{R} \) ein Koordinatensystem auf \( \ell \) mit \( \varphi(F)=0 \), und \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die Funktion
\( f(t):=d\left(M, \varphi^{-1}(t)\right) . \)
Beweisen Sie die folgenden Behauptungen aus der Vorlesung:
a) Die Funktion \( f \) ist auf beiden Intervallen \( (-\infty, 0] \) und \( [0, \infty) \) unbeschränkt.
b) Für alle \( t_{0} \in \mathbb{R} \) und \( \epsilon>0 \) gilt
\( \left|t-t_{0}\right|<\epsilon \quad \Rightarrow \quad\left|f(t)-f\left(t_{0}\right)\right|<\epsilon \)
Dies impliziert, dass \( f \) eine stetige Funktion ist.
c) Für \( 0 \leq s<t \) gilt immer \( f(s)<f(t) \), und für \( s<t \leq 0 \) gilt immer \( f(s)>f(t) \).
Vielen Dank im Voraus
LG
