Aufgabe:
Sei f: ℝ→ℝ definiert durch f(x) =∣x∣+1∣x∣ .
a) Untersuchen Sie f auf ℝ auf gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit.
b) Ist f an der Stelle x0 = 0 differenzierbar?
c) Ist f auf ℝ beschränkt? Nimmt die Funktion ein Minimum bzw. Maximum an?
Problem/Ansatz:
a)
Bei der Lipschitz-Stetigkeit komme ich bis:
|\( \frac{|x2|-|x1|}{(|x2|+1)(|x1|+1)} \) | ≤ L·|x2-x1|
Bei der gleichmäßigen hänge ich auch an dem Punkt |(∣x′∣+1)(∣x∣+1)∣x′∣−∣x∣ |
b)
Hier untersuche ich den Punkt x=0 und erhalte einmal den linksseitigen Grenzwert -1 für −x+1−x und für den rechtsseitigen Grenzwert 1 für x+1x . Damit ist es bei x=0 nicht differenzierbar.
c)
Es ist beschränkt durch 0 und 1. Letzteres wurde gezeigt durch limes gegen +- Unendlich. Gibt es hier eine elegantere Lösung für die 0 als Ableitung bilden und Minimum bestimmen?