Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Beschränktheit der Funktion f(x)=|x|/(|x|+1)

Question

Aufgabe:

Sei f: ℝ→ℝ definiert durch f(x) =\( \frac{|x|}{|x|+1} \) .

a) Untersuchen Sie f auf ℝ auf gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit.

b) Ist f an der Stelle x₀ = 0 differenzierbar?

c) Ist f auf ℝ beschränkt? Nimmt die Funktion ein Minimum bzw. Maximum an?

Problem/Ansatz:

a)
Bei der Lipschitz-Stetigkeit komme ich bis:

|\( \frac{|x₂|-|x₁|}{(|x₂|+1)(|x₁|+1)} \) | ≤ L·|x₂-x₁|

Bei der gleichmäßigen hänge ich auch an dem Punkt |\( \frac{|x'|-|x|}{(|x'|+1)(|x|+1)} \) |

b)
Hier untersuche ich den Punkt x=0 und erhalte einmal den linksseitigen Grenzwert -1 für \( \frac{-x}{-x+1} \)  und für den rechtsseitigen Grenzwert 1 für \( \frac{x}{x+1} \) . Damit ist es bei x=0 nicht differenzierbar.

c) 
Es ist beschränkt durch 0 und 1. Letzteres wurde gezeigt durch limes gegen +- Unendlich. Gibt es hier eine elegantere Lösung für die 0 als Ableitung bilden und Minimum bestimmen?

Answer 1

Bei c) kannst du für das Minimum ja nicht über die Ableitung argumentieren,

weil es bei 0 nicht differenzierbar ist. Wohl aber vielleicht so:

Für x>0 existiert f'(x) und es ist f'(x) > 0, also ist f dort monoton steigend

und der Grenzwert für x gegen unendlich ist 1 und es ist f(0)=0 , also gilt für alle

positiven x      0≤x≤1 .

Entsprechend auch für x<0. (fallend!).

Somit wird das Minimum bei x=0 angenommen, Ein Maximum der Funktionswerte

gibt es nicht. 1 ist das Supremum.

Comments

Oh, okay. Habe das übersehen. Dankeschön!