Aufgabe:
Zeige, dass es sich im Folgenden um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt (a > 0, b > 0)
$$ \frac{b^a}{\gamma(a)}x^{a-1}*e^{-bx} \mathbb{1}[0,\infty)(x) $$
Definition der Gammafunktion für x > 0
$$ \gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}*e^{-t} dt$$
Problem/Ansatz:
Zeige:
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{b^a}{\gamma(a)}x^{a-1}*e^{-bx} \mathbb{1}[0,\infty)(x) dx = 1 $$
Beweis:
$$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{b^a}{\gamma(a)}x^{a-1}*e^{-bx} \mathbb{1}[0,\infty)(x) dx &= \frac{b^a}{\gamma(a)} \int_{0}^{\infty} x^{a-1}*e^{-bx}(x) dx \\ &= \frac{b^a}{\gamma(a)} \frac{1}{b^a}\int_{0}^{\infty} x^{a- 1}*e^{-x}(x) dx \\ &= \frac{b^a}{\gamma(a)} * \frac{\gamma(a)}{b^a} \\ &= 1 \end{aligned} $$
Bei der zweizen Zeile des Beweises ist mir nicht klar, wie ich die Konstante b, die als Exponent im Integral steht so herausziehe, dass dann 1/b^a vor dem Integral steht. Ich habe ein zwei Testrechnungen gemacht, um zu verifizieren, dass es stimmen müsste. Sicher bin ich mir allerdings nicht. Meine Frage wäre wie man das so umformen kann oder ist das der völlig falsche Ansatz?
