Messbarkeit einer Funktion mit Jordaninhalt

Question

Aufgabe:

Um die Layercakeformel zu beweisen, soll ich zunächst zeigen, dass folgende Abbildung messbar ist:

h (0,∞) → [0,∞] ;  t ↦ λ^d({ x | f(x) ≥ t })     wobei λ den Jordan-Inhalt beschreiben soll.

Außerdem ist D ⊆ B_d (B^d sei die Borel-Sigma-Algebra in R^d) und f: D→ℝ nichtnegativ und messbar

Ich kenne nur die Definition, dass h genau dann messbar ist, wenn  h^-1(B) ∈ Α   für alle B aus der Sigma-Algebra der "Zielmenge".

Leider komme ich mit dieser Definition bei der Aufgabe nicht wirklich weiter. Die Zielmenge ist ℝ und da keine bestimmte Sigma-Algebra auf ℝ in der Aufgabenstellung gegeben ist gehe ich davon aus, dass damit die von ℝ erzeugte Sigma-Algebra gemeint ist, die alle Teilmengen von ℝ enthält. Demnach müsste ich zeigen, dass

h^-1(R) ∈ B_d  für alle R ⊆ ℝ

Leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter, allein der Fakt, dass R Teilmengen sind, der Jordaninhalt aber nur auf einzelne Zahlen abbildet, lässt mich an der Sinnhaftigkeit meiner Überlegungen zweifeln. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

Danke schon im voraus!

Answer 1

Die Aufgabe fordert Sie dazu auf, zu zeigen, dass die Funktion h messbar ist. In diesem Fall wird h definiert als:

h: (0, ∞) → [0, ∞] ; t ↦ λd({ x | f(x) ≥ t })

Die Funktion h nimmt Werte t aus dem Intervall (0, ∞) als Eingabe und gibt Werte aus dem Intervall [0, ∞] als Ausgabe. Die Funktion h wird messbar genannt, wenn für alle Teilmengen B aus der Sigma-Algebra der "Zielmenge" gilt, dass h^(-1)(B) ∈ D ist, wobei D die Sigma-Algebra auf dem Definitionsbereich von h ist.

In Ihrem Fall ist die Zielmenge ℝ und D ist die von Bd erzeugte Sigma-Algebra. Um zu zeigen, dass h messbar ist, müssen Sie also zeigen, dass h^(-1)(B) ∈ Bd für alle B ∈ Bd.

Um dies zu tun, könnten Sie versuchen, h^(-1)(B) explizit zu berechnen und zu zeigen, dass es in Bd liegt. Die inverse Funktion h^(-1) wird definiert als die Funktion, die jedem Wert y aus dem Zielbereich (hier ℝ) den entsprechenden Wert x aus dem Definitionsbereich von h (hier (0, ∞)) zuordnet, für den gilt: h(x) = y.

Um h^(-1)(B) zu berechnen, müssen Sie also herausfinden, welche Werte x aus (0, ∞) zu welchen Werten y aus B gehören. Dazu können Sie die Funktion h verwenden. Wenn Sie zum Beispiel wissen, dass y ∈ B, dann können Sie die Gleichung h(x) = y lösen, um x zu finden. Dies gibt Ihnen dann h^(-1)(B).

Ich hoffe, dass diese Erklärung hilfreich für Sie war. Wenn Sie weitere Fragen haben, zögern Sie bitte nicht, mich zu kontaktieren.

grüße GustavDerBraune

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Sie haben geschrieben "In Ihrem Fall ist die Zielmenge ℝ und D ist die von Bd erzeugte Sigma-Algebra." Aber ist nicht Bd die von D erzeugte Sigma-Algebra?

Sollte dies der Fall sein, woher weiß ich, dass die Sigma-Algebra der Zielmenge Bd ist, also die selbe wie die der Definitionsmenge?