Lebesgue Integral über einem 4 Dimensionalen Ball

Question

Aufgabe:

$$ \text{Überprüfen Sie, für welche a ∈ R folgendes Lebesgue-Integral über }B^{4}_1(0) \text{ ⊂ }R^{4} \text{ existiert, und berechnen Sie es für diese a:} $$

$$\int \limits_{B^{4}_1(0)}\frac{1}{(x^{2}+y^{2}+u^{2}+v^{2})^a} dλ^{4}((x,y,u,v)) $$

Problem:

Dies ist eine Klausuraufgabe der Analysis 3 gewesen, die in 20 Minuten zu lösen sein soll. Mit der Transformationsformel komme ich zwar auf ein Ergebnis, jedoch hat das wegen der 4 Dimensionen eine kleine Ewigkeit gedauert. Kennt jemand einen Trick, den man hier anwenden kann?

Answer 1

Ist vielleicht folgende Formel bekannt:

$$\int_{s \leq\|x\| \leq t}f(\|x\|) \; dx=c_n\int_s^tf(r)r^{n-1} \; dt$$

(euklidische Norm im \(\R^n\), \(c_n\): Maß der Einheitsspähre)

Damit wird die Frage auf ein eindimensionales uneigentliches Riemann-Integral zurückgeführt.