Aloha :)
Mittels des Satzes von Gauß wird normalerweise ein aufwändig zu berechnendes Integral über eine geschlossene Oberfläche auf ein einfach zu berechnendes Integral über das Volumen innerhalb dieser Oberfläche zurückgeführt. Hier haben wir es mit der Berechnung eines Volumens zu tun, daher macht der Satz von Gauß wenig Sinn.
Bei der Aufgabe geht es eher darum, dass du lernst, auf die Integrationsreihenfolge zu achten. Das Volumen der Menge \(B\) können wir wie folgt formulieren:$$V=\iiint\limits_BdV=\int\limits_{z=0}^1\int\limits_{y=0}^{2+z}\int\limits_{x=-z}^{2y+3z}dx\,dy\,dz$$
Die Integrationsgrenzen für \(dx\) enthalten noch die anderen Integrationsvariablen \(y\) und \(z\). Daher müssen wir als erstes über \(dx\) integrieren und dabei die Werte für \(y\) und \(z\) festhalten:$$V=\int\limits_{z=0}^1\int\limits_{y=0}^{2+z}\left[x\right]_{x=-z}^{2y+3z}dy\,dz=\int\limits_{z=0}^1\int\limits_{y=0}^{2+z}\left[(2y+3z)-(-z)\right]dy\,dz=\int\limits_{z=0}^1\int\limits_{y=0}^{2+z}\left(2y+4z\right)\,dy\,dz$$
Die Integrationsgrenzen für \(dy\) enthalten noch die andere Integrationsvariable \(z\). Daher müssen wir als nächstes über \(dy\) integrieren und dabei den Wert für \(z\) festhalten:$$V=\int\limits_{z=0}^1\left[y^2+4zy\right]_{y=0}^{2+z}dz=\int\limits_{z=0}^1\left((2+z)^2+4z(2+z)\right)\,dz=\int\limits_{z=0}^1(4+12z+5z^2)\,dz$$
Jetzt ist nur noch das Integral über \(dz\) zu bestimmen:$$V=\left[4z+6z^2+\frac53z^3\right]_{z=0}^1=4+6+\frac53=\frac{35}{3}$$
