Aloha :)
Die Punktmenge \(G\) beschreibt einen Hohlzylinder:$$G=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\;\big|\;4<x^2+y^2<9\;\land\;-1<z<1\}$$Mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes \((dV\vec\nabla=d\vec \sigma)\) kann die Integration über das Volumen von \(G\) auf die Integration über die geschlossene Oberfläche von \(G\) zurückgeführt werden:$$I=\iiint\limits_{V(G)}\operatorname{div}\vec f(x;y;z)\,dV=\iiint\limits_{V(G)}dV\vec\nabla \vec f(x;y;z)=\oiint\limits_{O(G)}d\vec\sigma \vec f(x;y;z)=\oiint\limits_{O(G)}\vec f(x;y;z)\,d\vec\sigma$$
Wir wählen zum Abtasten der Oberfläche einen Ortsvektor in Zylinderkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad\vec f(\vec r)=\begin{pmatrix}r\sin\varphi\\-r\cos\varphi\\(r^2\cos^2\varphi-r\sin\varphi)\cdot e^{\frac{1}{z^2-2}}\end{pmatrix}$$und teilen die geschlossene Oberfläche in 4 Teilflächen auf.
1) Der Deckel des Zylinders
Die \(z\)-Koordinate wird bei \(z=1\) festgehalten, sonst gilt \(r\in[2;3]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\).
Der Normalenvektor lautet:$$\vec n_1=\pm\frac{\partial\vec r}{\partial r}\times\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}=\pm\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\-r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}=\pm\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}\implies d\vec\sigma_1=\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$Wir haben die Richtung \((\pm)\) des Normalenvektors so gewählt, dass er nach außen zeigt.
Der Beitrag zum Integral ist daher:$$I_1=\int\limits_{r=2}^3\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}r\sin\varphi\\-r\cos\varphi\\ (r^2\cos^2\varphi-r\sin\varphi)\cdot e^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$
2) Der Boden des Zylinders
Die \(z\)-Koordinate wird bei \(z=-1\) festgehalten, sonst gilt \(r\in[2;3]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\).
Der Normalenvektor zeigt nach unten, ist also entgegengesetzt zu \(\vec n_1\) orientiert:$$d\vec\sigma_2=\begin{pmatrix}0\\0\\-r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$
Der Beitrag zum Integral ist daher:$$I_2=\int\limits_{r=2}^3\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}r\sin\varphi\\-r\cos\varphi\\(r^2\cos^2\varphi-r\sin\varphi)\cdot e^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\-r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$
Es fällt sofort auf, dass \(I_1\) und \(I_2\) sich gegenseitig wegheben, weil die Vorzeichen der Normalenvektoren unterschiedlich sind.
3) Die Außenseite des Zylinders
Die \(r\)-Koordinate wird bei \(r=3\) festgehalten, sonst gilt \(z\in[-1;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\).
Der Normalenvektor lautet:$$\vec n_3=\pm\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}\times\frac{\partial\vec r}{\partial z}=\pm\begin{pmatrix}-3\sin\varphi\\3\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\pm\begin{pmatrix}3\cos\varphi\\3\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\implies d\vec\sigma_3=\begin{pmatrix}3\cos\varphi\\3\sin\varphi\\0\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$Wir haben die Richtung \((\pm)\) des Normalenvektors so gewählt, dass er nach außen zeigt.
Der Beitrag zum Integral ist daher:$$I_3=\int\limits_{z=-1}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}3\sin\varphi\\-3\cos\varphi\\ (3^2\cos^2\varphi-3\sin\varphi)\cdot e^{\frac{1}{z^2-2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\cos\varphi\\3\sin\varphi\\0\end{pmatrix}dr\,d\varphi=0$$Das Skalarprodukt im Integranden ergibt \(0\), sodass das Integral \(0\) ist.
4) Die Innenseite des Zylinders
Die \(r\)-Koordinate wird bei \(r=2\) festgehalten, sonst gilt \(z\in[-1;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\).
Der Normalenvektor ist dem zu \(\vec n_3\) entgegengesetzt und wir müssen \(r=2\) anstatt \(r=3\) einsetzen:$$\vec n_4=\begin{pmatrix}-2\cos\varphi\\-2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\implies d\vec\sigma_4=\begin{pmatrix}-2\cos\varphi\\-2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$
Der Beitrag zum Integral ist daher:$$I_4=\int\limits_{z=-1}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}2\sin\varphi\\-2\cos\varphi\\ (2^2\cos^2\varphi-r\sin\varphi)\cdot e^{\frac{1}{z^2-2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\cos\varphi\\-2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}dr\,d\varphi=0$$Das Skalarprodukt im Integranden ergibt \(0\), sodass das Integral \(0\) ist.
Tja, da bleibt nix mehr zu rechnen übrig. Die Beiträge von Deckel und Boden heben sich gegenseitig weg. Der Beiträge von Außen- und Innenflläche verschwinden jeder für sich:$$I=0$$
