Wie den Maximalwert einer Funktion mit 2 Unbekannten zeigen?

Question

Aufgabe: Gegeben sei h(x) = 1/(1+|x|) + 1/(1+|x-a|)
Gezeigt werden soll, dass der maximale wert der Funktion (2+a)/(1+a) ergibt.
(Hinweis: Bei a handelt es sich um eine positive Zahl)

Bin hier komplett ratlos. Kann jemand die Schritte erklären, bitte?

Comments

Endlich mal ne coole tricky Frage! Yeah!

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Hab mir auch gehörig die Zähne ausgebissen, danke fürs Helfen!

Answer 1

Hier mal Schritt für Schritt:

\(\frac 1{1+|x|} + \frac 1{1+|x-a|} = \frac{2+|x| + |x-a|}{(1+|x|) (1+|x-a|)} \)

\(= \frac{2+|x| + |x-a|}{1+|x| + |x-a| + \color{blue}{|x(x-a)|}}\)

\(\leq \frac{2+|x| + |x-a|}{1+|x| + |x-a|}= 1 + \frac 1{1+|x| + |x-a|}\)

Nun ist

\(|x| + |x-a| = |x| + |a-x| \geq |x+a-x| =a\)

Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn x und a-x dasselbe Vorzeichen haben bzw. einer von beiden Null ist.

Also

\(\frac 1{1+|x|} + \frac 1{1+|x-a|} \leq 1+\frac 1{1+a} = \frac{2+a}{1+a}\)

Wir müssen nur noch zeigen, dass die Gleichheit eintreten kann. Dafür setze z. Bsp. x=0 ein.

Answer 2

Die Funktion \( h(x) \) wird am größten, wenn der Nenner am kleinsten wird, d.h. bei \( x = 0 \) oer bei \( x = a \)

In beiden Fällen ergibt sich der Wert \( \frac{2+a}{a+1} \)

Answer 3

Hallo

der Erste Bruch ist maximal bei x=0, der zweite bei x=a also maxima an den Stellen.

dann setze die Werte ein.

lul