Aloha :)
Wir parametrisieren zunächst den Ellipsoid mit Kugelkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}ar\cos\varphi\sin\vartheta\\br\sin\varphi\sin\vartheta\\cr\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi/2]$$Beachte, dass wegen \(z\ge0\) das Intervall für den Winkel \(\vartheta\) entsprechend eingeschränkt ist. Das Volumenelement für den Ellispoid ist, wegen der Skalierung der Dimensionen um den Faktor \(abc\), gegenüber dem der Kugel verzerrt:$$dV=abc\,r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$
Das gesuchte Integral ist damit:
$$\Phi=\oint\limits_{S}\vec v\,d\vec f=\int\limits_{V(S)}\operatorname{div}\vec v\,dV=\int\limits_{V(S)}\left(3x^2+2y\right)dV$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_0^1dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\left(3(ar\cos\varphi\sin\vartheta)^2+2\cdot(br\sin\varphi\sin\vartheta)\right)\,abc\,r^2\sin\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\left(3a^2r^2\cos^2\varphi\sin^2\vartheta+2br\sin\varphi\sin\vartheta\right)\sin\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(3a^2r^2\cos^2\varphi\underbrace{\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\sin^3\vartheta}_{=2/3}+2br\sin\varphi\underbrace{\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\sin^2\vartheta}_{=\pi/4}\right)$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(2a^2r^2\cos^2\varphi+\frac{\pi}{2}br\sin\varphi\right)$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\left(2a^2r^2\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\,\cos^2\varphi}_{=\pi}+\frac{\pi}{2}br\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\;\sin\varphi}_{=0}\right)$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\left(2\pi\,a^2r^2\right)=2\pi\,a^3bc\int\limits_0^1 r^4\,dr=2\pi\,a^3bc\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^1=\frac{2}{5}\pi\,a^3bc$$
Mit \(a=8,b=2,c=3\) heißt das:$$\Phi=\frac{2}{5}\pi\,8^3\cdot2\cdot3=\frac{6144}{5}\pi\approx3.860,3891$$
