Wie zeige ich die Surjektivität?

Question

Aufgabe:

f: ℝ^2→ℝ^2: (x₁,x₂)↦f(x₁,x₂)=(x₁+2x₂+1, 2x₁+5x₂+2)

Ist die Funktion bijektiv?

…

Problem/Ansatz:

Hallo Leute,

ich hänge gerade hier bei dieser Funktion. Und zwar ist mir nicht klar, wie man die Surjektivität zeigen soll/kann. Ich habe das so gelernt, dass man den Term einfach gleich a setzt und dann ein Intervall sucht für das diese Gleichung erfüllt ist. Das ist aber wegen dem Plus 1 hier nicht möglich. Bitte helft mir weiter! Danke!

Answer 1

Aloha :)

Surjektiv bedeutet ja, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R^2\) mindestens 1-mal getroffen wird. Wähle daher ein \(\binom{a}{b}\in\mathbb R^2\) beliebig aus der Zielmenge aus und besimme ein Argument \(\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\) aus der Definitionsmenge, das \(\binom{a}{b}\) tifft.$$\binom{a}{b}\stackrel!=\binom{x+2y+1}{2x+5y+2}\implies\binom{a-1}{b-2}=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{pmatrix}\binom{x}{y}\implies\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{pmatrix}^{-1}\binom{a-1}{b-2}$$Da die Determinante der Matrix \((5-4=1\ne0)\) ist, existiert die Inverse und die angegebene Formel hat sogar ein eindeutiges Ergebnis. Die Funktion ist daher nicht nur surjektiv, sondern sogar bijektiv.

Comments

Gibt es nioch eine andere Möglichkeit, weil wir haben dieses Verfahren nicht an der Uni gelernt. Bzw. was sind die Determinanten und was sagen diese aus?

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Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das die Spaltenvektoren aufspannen. Wenn dieses Volumen \(=0\) ist, muss im Ziel-Raum mindestens 1 Dimension verloren gegangen sein, denn es wird kein \(n\)-dimensionales Volumen mehr aufgespannt. Daher geht bei der Abbildung die Information über mindestens 1 Dimension verloren, sodass die Abbildung nicht umkehrbar ist.

Wenn du noch keine Determinanten hattest, musst du wohl oder übel das Gleichungssystem lösen:$$a=x+2y+1\quad\land\quad b=2x+5y+2$$Ich bekomme als Lösung:$$x=5a-2b-1\quad\land\quad y=b-2a$$Damit hast du ein Argument \(\binom{5a-2b-1}{b-2a}\) gefunden, das auf \(\binom{a}{b}\) abgebildet wird. Also hast du gezeigt, dass die Funktion surjektiv ist.

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Wie kommst du auf y= b - 2a?

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Das habe ich rechnen lassen:

https://www.wolframalpha.com/input?i=a%3Dx%2B2y%2B1+and+b%3D2x%2B5y%2B2

Answer 2

Hallo,

f: ℝ2→ℝ2: (x₁,x₂)↦f(x₁,x₂)=(x₁+2x₂+1, 2x₁+5x₂+2)
Ist die Funktion bijektiv?

Ja - um die Surjektivität zu zeigen, invertiere die Funktion$$\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} \to f^{-1}\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix}$$und nun kann man für \((x_1|\,x_2)\) jeden beliebigen Wert einsetzen. Folglich kann jedes Element der Zielmenge erreicht werden.

Comments

Aber man darf dei Inverse doch erst bilden, wenn die Abbildung sicherlich bijektiv ist

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Gibt es noch eine andere Möglichkeit, weil wir haben dieses Verfahren nicht an der Uni gelernt. Bzw. was sind die Determinanten und was sagen diese aus?

Na ja - Determinante hin oder her - es geht doch nur um die Invertierung des Gleichungssystem:$$a = x_1+2x_2+1 \\ b=2x_1+5x_2+2$$Stelle dies so um, dass am Ende zwei Gleichungen zur Berechnung von \(x_1\) und \(x_2\) aus den Koordinaten \(a\) und \(b\) dort steht$$x_1 = \dots\\x_2=\dots$$das sollte mit rudimentärer Schulalgebra zu machen sein. (die Lösung steht oben in der Antwort)

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Aber man darf die Inverse doch erst bilden, wenn die Abbildung sicherlich bijektiv ist

Man kann es aber in jedem Fall versuchen. Sollte die Inverse tatsächlich nicht existieren, dann wird man es dann schon merken ;-)