Sei K ein geordneter Körper. Zeigen Sie für Elemente a, b, c, d ∈ K (andere Aufgabe):

Question

Ja, noch so eine Aufgabe, aber ich habe einfach echt Probleme, zu wissen, wie ich an solche Beweise herangehen sollte...

Sei K ein geordneter Körper. Zeigen Sie für Elemente a, b, c, d ∈ K:

(iv) Es gilt \( (a c+b d)^{2} \leq\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) \).

Alles was ich bräuchte, wäre ein Ansatz, aber aktuell hab ich einfach keine Ahnung, wie ich da am besten vorgehen sollte.
Hat irgendwer eine Idee, wie ich da rangehen könnte?

Answer 1

der Ansatz lautet: Ausmultiplizieren.

Du kannst dann ein paar Terme geschickt rauskürzen und hast dann am Ende etwas schönes stehen, womit du deine Ungleichung verifizieren kannst. Kleiner Tipp: Binomische Formel.

Lg

Comments

Auch hier nochmal danke für die Antwort (:
ich bin jetzt soweit, dass ich hier
2abcd ≤ a²d² + b²c²

stehen habe...aber wie bringt mich das zu meinem Beweis?

Man könnte es natürlich auch so umformen, so hätte man immerhin schonmal gezeigt, dass die Behauptung gilt für a,b,c,d > 0, a,b,c,d < 0, wenn eine der vier Variablen = 0 und wenn von den vier genau zwei > 0 sind. aber was soll mir das bringen

0 ≥ a²d² + b²c² - 2abcd

Sorry, falls ich hier ein bisschen viel verlange, aber auch jeden Fall danke danke danke dass du mir hier hilfst, ich bin echt bisschen überfordert mit dem Ganzen um ehrlich zu sein(:

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Ok warte ich glaube ich habs!

Dankeee <3<3<3 du bist mein Held

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ok wow vergiss es...

habe bissl umgeformt und kam auf

abcd + abcd ≤ aadd + bbcc
und das sah so schön aus...habe leider trotzdem keine Ahnung, wie ich da was rauslesen soll...

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Ich hoffe, du bist auch auf die wunderbare dritte Binomische Formel gekommen.

\( 0 \leq a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ad-bc)^2\)

Dieser Ausdruck ist immer wahr.

Lg

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Wow ich muss blind gewesen sein...

nochmal vielen Dank ohne dich wär ich echt verzweifelt!!