Wenn (R,+,•) ein geordneter Integritätsbereich seien. Wir zeige ich Folgendes?

Question

Aufgabe:

Seien \( (R,+, \cdot) \) ein geordneter Integritätsbereich und \( a, b, c \in R \). Wie zeige ich Folgendes

Problem/Ansatz:

1.

\( c \prec 0 \quad \Rightarrow \quad(a \prec b \Leftrightarrow a \cdot c \succ b \cdot c) \)

2.

\( 0 \preceq a \prec b \quad \Rightarrow \quad \circ \preceq a^{n} \prec b^{n} \quad \) für alle \( n \in \) N

Answer 1

\( a \prec b \Rightarrow  a - b \prec 0 \)

und weil auch c<0 ist gilt  \(  0  \prec  c \cdot (  a - b)   \)

\(  \Rightarrow 0  \prec c \cdot a - c \cdot b\)

\(  \Rightarrow c \cdot b  \prec  c \cdot a \)

\( \Rightarrow a \cdot c \succ b \cdot c \)

umgekehrt entsprechend.