f, g ∈ K^{M} auch immer ein Körper?

Question

Aufgabe

Text erkannt:

(b) Sei Sei \( (K,+, \cdot) \) ein Körper. Ist dann \( \left(K^{M}, \oplus, \odot\right) \) mit
\( \begin{array}{l} (f \oplus g)(x)=f(x)+g(x), \\ (f \odot g)(x)=f(x) \cdot g(x) \quad \text { für alle } x \in M \end{array} \)
für \( f, g \in K^{M} \) auch immer ein Körper?

Hallo, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Wie soll ich das beweisen?

Comments

Für den Fall, dass \(M\) mehr als ein Element besitzt,

zeige, dass \(K^M\) nicht nullteilerfrei ist.

Answer 1

K^M ist ja wohl die Menge aller Abbildungen von M nach K,

wobei M irgendeine (nicht leere ? ) Menge ist.

Musst also schauen, ob (K^M,⊕) eine kommutative Gruppe ist.

Also z.B. Seien f,g ∈ K^M, ist f⊕g wieder in K^M ? Offenbar ja.

Ist ⊕ assoziativ ? Seien also f,g,h ∈ K^M

Dann ist  z =  ( f⊕g ) ⊕ h die Abb. , bei der für alle x∈M gilt:

z(x) = (f⊕g)(x) + h(x) = ( f(x)+g(x))+ h(x)

wegen Assoziativ. in K also

=  f(x)+( g ⊕ h) (x)

= (  f⊕  (g ⊕ h) ) (x)

Also stimmt z(x) für alle x∈M mit der Abb. f⊕  (g ⊕ h)

überein, somit ( f⊕g ) ⊕ h =  f⊕  (g ⊕ h).

In der Art (Def. anwenden und die Eigenschaften von K)

kannst du (vielleicht ?) auch alle anderen Körperaxiome

beweisen.

Comments

kannst du wohl auch alle anderen Körperaxiome beweisen

Kannst du es ?

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Der Tipp mit "nicht nullteilerfrei" war echt gut !

Also klappen doch nicht alle, daher " (vielleicht ?) ".