f, g ∈ KM auch immer ein Körper?

Question

Aufgabe

Text erkannt:

(b) Sei Sei $(K,+, \cdot)$ ein Körper. Ist dann $\left(K^{M}, \oplus, \odot\right)$ mit
$\begin{array}{l} (f \oplus g)(x)=f(x)+g(x), \\ (f \odot g)(x)=f(x) \cdot g(x) \quad \text { für alle } x \in M \end{array}$
für $f, g \in K^{M}$ auch immer ein Körper?

Hallo, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Wie soll ich das beweisen?

Comments

Für den Fall, dass $M$ mehr als ein Element besitzt,

zeige, dass $K^M$ nicht nullteilerfrei ist.

Answer 1

K^M ist ja wohl die Menge aller Abbildungen von M nach K,

wobei M irgendeine (nicht leere ? ) Menge ist.

Musst also schauen, ob (K^M,⊕) eine kommutative Gruppe ist.

Also z.B. Seien f,g ∈ K^M, ist f⊕g wieder in K^M ? Offenbar ja.

Ist ⊕ assoziativ ? Seien also f,g,h ∈ K^M

Dann ist  z =  ( f⊕g ) ⊕ h die Abb. , bei der für alle x∈M gilt:

z(x) = (f⊕g)(x) + h(x) = ( f(x)+g(x))+ h(x)

wegen Assoziativ. in K also

=  f(x)+( g ⊕ h) (x)

= (  f⊕  (g ⊕ h) ) (x)

Also stimmt z(x) für alle x∈M mit der Abb. f⊕  (g ⊕ h)

überein, somit ( f⊕g ) ⊕ h =  f⊕  (g ⊕ h).

In der Art (Def. anwenden und die Eigenschaften von K)

kannst du (vielleicht ?) auch alle anderen Körperaxiome

beweisen.

Comments

kannst du wohl auch alle anderen Körperaxiome beweisen

Kannst du es ?

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Der Tipp mit "nicht nullteilerfrei" war echt gut !

Also klappen doch nicht alle, daher " (vielleicht ?) ".