Sei K ein Körper mit #K = q ∈ ℕ Elementen und sei V ein K-Vektorraum der Dimension
n ∈ ℕ.
a) Bestimmen Sie die Mächtigkeit von V in Abhängigkeit von q und n.
hat also n Basisvektoren b1,b2..., bn, durch die man eindeutig alle Elemente von V in der Form
q1*b1+q2*b2+....qn*bn darstellen kann. Also ist die Anzahl genausogroß wie die
Anzahl der n-Tupel von den q's und das wäre q^n .
b) Wie viele Untervektorräume der Dimension 0 gibt es in V?
gibts immer nur einen, den mit der Null
c) Wie viele Untervektorräume der Dimension 1 gibt es in V?
so viele, wie es von 0 verschiedene vektoren gibt. Das wären q^n - 1
d) Wie viele Untervektorräume der Dimension m ∈ ℕ0 mit m ≥ n gibt es in V?
nur einen, nämlich V dim > n geht gar nicht.
Und wie viele mit m < n?
m=0, 1 s.o.
m=2 musst du überlegen jede Basis eine 2-dim Unterraumes kannst du zu einer Basis von V ergänzen.
also nimmst du aller 2-elementigen Teilmengen der Bais aus Teil a),
das sind n(n-1) / 2
usw.
