Eine übliche Definition des Betrages ist:
$$a\in \mathbb R :\: |a| = \max(a,-a)$$
Jetzt wendest du das auf \(a=x-y\) an:
$$|x-y| < \epsilon \Leftrightarrow \max(x-y,-(x-y))<\epsilon $$$$\Leftrightarrow x-y < \epsilon \text{ und } -(x-y)<\epsilon$$$$\Leftrightarrow x-y < \epsilon \text{ und } -\epsilon < x-y$$$$\Leftrightarrow -\epsilon < x-y < \epsilon$$