Wieso gilt diese Äquivalenz?

Question

Kann mir jemand erklären warum \( |x-y|<\varepsilon \) dasselbe ist wie -ε < x-y < ε ?

Lg

Comments

Löse den Betrag auf mit einer Fallunterscheidung-

1. x> y

2. x<y

---

meinst du mit x-y >= 0 und x-y < 0 ??

x-y < e

-(x-y) < e = y-x < e = x-y > -e

Answer 1

 \( |x-y|<\varepsilon \) bedeutet anschaulich gesprochen:

Der Abstand von x und y auf der Zahlengeraden ist kleiner als ε.

Also liegt die Differenz der Zahlen zwischen -ε und ε.

Answer 2

Da \(|x-y|=|y-x|\) ist, kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit \(x\geq y\)

annehmen, also \(x-y< \epsilon\), analog \(y-x< \epsilon\).

Answer 3

Eine übliche Definition des Betrages ist:

$$a\in \mathbb R :\: |a| = \max(a,-a)$$

Jetzt wendest du das auf \(a=x-y\) an:

$$|x-y| < \epsilon \Leftrightarrow \max(x-y,-(x-y))<\epsilon $$$$\Leftrightarrow x-y < \epsilon \text{ und } -(x-y)<\epsilon$$$$\Leftrightarrow x-y < \epsilon \text{ und } -\epsilon < x-y$$$$\Leftrightarrow -\epsilon < x-y < \epsilon$$