Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Supremumsnorm eine mit der vorgegebenen Vektornorm verträgliche Matrizennorm ist
Problem/Ansatz:
Eine Norm \( \|\cdot\|_{n \times n} \) auf \( \mathbb{R}^{n \times n} \) heißt ja verträglich mit einer Norm \( \|\cdot\| \) auf \( \mathbb{R}^{n} \), falls
\( \|A x\| \leq\|A\|_{n \times n} \cdot\|x\| \)
für alle \( x \in \mathbb{R}^{n} \) und \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) → Dass ist mir verständlich.
Die Supremumsnorm
\( \|A\|:=\sup _{x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}} \frac{\|A x\|}{\|x\|}=\sup _{\substack{x \in \mathbb{R}^{n} \\\|x\|=1}}\|A x\| \)
ist eine mit \( \|\cdot\| \) verträgliche Matrixnorm.
Somit müsste jetzt doch zu zeigen sein, dass ||Ax||≤||A||∞*||x|| und somit ||\( \frac{Ax}{||x||} \)||≤||A||∞ - jetzt ist mir aber überhaupt nicht klar, wie ich die Verträglichkeit formal weiter zeige?
Danke für Hilfe
