Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass f auf I genau einen Fixpunkt x* besitzt.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f: R-->R mit $$f(x)=\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}$$ auf I=[-0,5;0,5].

Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass f auf I genau einen Fixpunkt x* besitzt.

Laut den Lösungen der Aufgabe besitzt f auf I genau einen Fixpunkt x*. Ich habe die Aufgabe berechnet, erfülle jedoch am Ende nicht, dass I F(x) - F(y) I ≤ L * Ix-yI ist. Habe ich mich verrechnet oder einen anderen Fehler?

Meine Lösung:

F ist stetig differenzierbar und es gilt: $$F´(x) =\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$$. Grenzen des Intervalls prüfen: Es ist $$F(-0,5)=\frac{1}{6}*(-\frac{1}{2})^{3}+\frac{1}{4}*(-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}*-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\in[-0,5;0,5]$$ und

$$F(0,5)=\frac{1}{6}*(\frac{1}{2})^{3}+\frac{1}{4}*(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}*\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{1}{8}\in[-0,5;0,5]$$ , sodass F:[-0,5;0,5]-->[-0,5;0,5] beschränkt und abgeschlossen ist.

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz besitzt F genau dann einen Fixpunkt $$x*\in[-0,5;0,5]$$, wenn F eine Kontraktion ist.

Z.z.: $$0\leq x < y \leq 1$$ existiert mit I F(x) - F(y) I ≤ L* I x-y I für alle $$x,y*\in[-0,5;0,5]$$

Mit MWS gilt: $$I F(x) - F(y) I = I F´(ξ_x,_y) I I x -y I ≤ sup (ξ\in[x,y]) I F´(ξ)I I x-y I = I x - y I sup (ξ\in[x,y] \frac{1}{2}*ξ² +\frac{1}{2}*ξ-\frac{1}{4} ≤ I x-y I sup (ξ\in[a,b]) \frac{1}{2}*ξ² +\frac{1}{2}*ξ-\frac{1}{4}$$.

a=-0,5   b= 0,5 sodass $$-\frac{1}{2}\leq x< y \leq \frac{1}{2}$$. Für maximalen Wert des Intervalls ist F´(0,5) = 1/8 und für den minimalen Wert ist F´(-0,5) = - 3/8, weshalb $$I F(x) - F(y) I ≤ I x-y I sup (ξ\in[a,b]) \frac{1}{2}*ξ² +\frac{1}{2}*ξ-\frac{1}{4} = I x-y I * (\frac{1}{2} * (\frac{1}{2})² + \frac{1}{2} * (\frac{1}{2})-\frac{1}{4})$$ = I x -y I * 1/8 ist, womit L = 1/8.

Es bleibt z.z., dass I F(x) - F(y) I ≤ 1/8 * I x-y I für alle $$x,y*\in[-0,5;0,5]$$. Für den maximalen Abstand zwischen F(x) und F(y) sei I F(x) - F(y) I = $$I(\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{4}x² -\frac{1}{4}x+\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}y^3+\frac{1}{4}y² -\frac{1}{4}y+\frac{1}{6})I$$ = $$I(\frac{1}{6}(x-y)^3+\frac{1}{4}(x-y)² -\frac{1}{4}(x-y)+\frac{1}{6})I$$. Da x und y im Intervall [-0,5;0,5] liegen, gilt für x = -0,5 und für y = 0,5 folglich

I F(x) - F(y) I = I F(-0,5) - F(0,5) I = 3/8

... aber 3/8 sind ja nicht kleiner gleich 1/8?

Die $$I$$ sollen den Betrag darstellen.

Answer 1

Nach meiner Rechnung ist eine Lipschitz-Konstante

$L=\sup_{x\in [-1/2,1/2]} |f'(x)| = 3/8$.

Comments

Was habe ich da falsch gemacht?

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Siehe meine Antwort. Die 3/8 ist auch nur eine Lipschitzkonstante, von vielen. Es gibt nicht die Lipschitzkonstante.

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Habe meinen Text korrigiert !

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Siehe diesen Plot:
https://www.wolframalpha.com/input?i=max+%28abs%28x%5E2%2Bx-1%2F2%29…

Answer 2

Hier sind einige Lücken.

Zunächst musst Du $f:I\longrightarrow I$ zeigen. Du hast nur $f(-0.5)\in I, f(0.5)\in I$ gezeigt. Das reicht nicht. Woher weißt Du was bei den restlichen Werten im Intervall passiert? Einsetzen der Randpunkte reicht dann (z.B.), wenn $f$ monoton auf $I$ ist. Das hast Du nicht erwähnt und nachgewiesen - und es wäre auch schwierig, weil $f$ nicht monoton auf $I$ ist.

Denselben Fehler hast Du bei der Berechnung von $L$ gemacht: Prüfen der Randwerte reicht nicht. Es muss das ganze Intervall betrachtet werden. Das ist hier nicht so schwer, weil $f'$ ja eine quadratische Funktion ist. Beachte, es geht um $|f'|$, nicht um $f$. Damit erhältst Du z.B. $L=3/8$. Mit anderen Methoden kann man auch auf ein größeres $L$ kommen, was nicht falsch sein muss und für den BFS auch reichen würde, solange $L<1$ ist.