Hypothesen Test wie komme ich auf k

Question

Hallo,

Bei einem linksseitigen Hypothesentest gillt ja:

\( P(X \leq k) \leq \alpha \)

Und beim rechtsseitigen gillt

\( P(X \geq k+1) \leq \alpha \)

Ich bin schon seit mindestens 1 Stunde dran und mache Aufgaben aber ich verstehe nicht wie man auf das k kommt in der Klammer, ist das in der Aufgabenstellung gegeben, oder muss ich das im Tafelwerk ablesen, ich verstehe das einfach nicht.

Kann mir jemand erklären was das k bedeutet und wie das finde?

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Geht es um eine diskrete Zufallsvariable?

Wie lautet die Aufgabe?

Answer 1

Das \(k\) ist der sogenannte kritische Wert und kennzeichnet die Grenze zwischen dem Ablehnungsbereich und dem Annahmebereich für die Nullhypothese. Da du die Stichprobengröße \(n\) und die Nullhypothese und damit \(p\) sowie das Signifikanzniveau \(\alpha\) kennst, kannst du den kritischen Wert bestimmen, so das deine angegebenen Ungleichungen erfüllt sind. Ich gehe jetzt mal davon aus, dass es sich auf einen Test zur Binomialverteilung bezieht.

Das kannst du tatsächlich entweder über das Tafelwerk machen oder - wie heutzutage üblich - mit dem GTR/CAS, falls ihr einen verwendet. Die gängigen Modelle haben einen Befehl binomcdf oder ähnlich. Über eine Wertetabelle kannst du dann das passende \(k\) herausfinden. Ausprobieren geht natürlich auch, dauert aber länger.

Wenn du eine Wertetabelle machst, gibst du als Funktion den folgenden Ausdruck an (zum Beispiel für deinen ersten Fall):

binomcdf(k, n, p) und wählst das \(k\) in einem bestimmten Bereich aus und lässt dir die Tabelle anzeigen. Dort kannst du dann relativ zügig, dass passende \(k\) heraussuchen, so dass die zugehörige Wahrscheinlichkeit noch unterhalb von \(\alpha\) liegt.

Melde dich gerne, wenn du dazu noch konkrete Fragen hast.

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Das \(k\) ist der sogenannte kritische Wert und kennzeichnet die Grenze zwischen dem Ablehnungsbereich und dem Annahmebereich für die Nullhypothese. Da du die Stichprobengröße \(n\) und die Nullhypothese und damit \(p\) sowie das Signifikanzniveau \(\alpha\) kennst, kannst du den kritischen Wert bestimmen, so das deine angegebenen Ungleichungen erfüllt sind.

Wenn wir davon ausgehen, dass \(k\) in der Aufgabenstellung schon definiert wurde, kann man aber trotzdem nicht anhand  von \(k\) sagen ob es jetzt ein Linkseitiger- oder Rechtsseitiger Test ist oder ?

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Wenn es das \(k\) in der Aufgabe gibt, musst du es ja nicht berechnen. Wie lautet denn die Aufgabenstellung?

Die Art des Tests kannst du immer anhand der Hypothesen erkennen. Die Alternativhypothese "zeigt" immer in Richtung des Tests, das heißt, wenn bspw. \(H_1\,:\,p>p_0\) ist, dann handelt es sich um einen rechtsseitigen Test, da die Spitze nach rechts zeigst. Der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese befindet sich quasi rechts, wenn man die Verteilung z.B. mittels eines Histogramm visualisieren würde.

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Hier zum Beispiel wie komme ich auf K und auf A bzw A Strich

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Das habe ich oben bereits erläutert. Die Gegenhypothese ist hier \(H_1\,:\, p>0,3\), weshalb ein rechtsseitiger Test vorliegt. Du musst nun \(k\) so bestimmen, dass \(P(X\geq k)\leq \alpha=0,05\) gilt (siehe Antwort oben). Bei diesem Ansatz gehört das \(k\) zum Ablehnungsbereich.

Damit kannst du nun eine Entscheidungsregel aufstellen und entscheiden, ob du bei 131 Befragten die Nullhypothese verwerfen kannst oder nicht. Die 131 ist hier also nicht das \(k\), was man sucht, sondern nur das Ergebnis der Stichprobe, was man mit dem kritischen Wert vergleicht, um so zu einer Entscheidung zu kommen.

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Ich habe das jetzt so gemacht aber wie finde ich das im Tafelwerk, n=200 p=0,3 was muss ich mit den 0,95 machen haben keinen Taschenrechner der das machen kann.

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In der vorletzten Zeile muss innerhalb der Klammer auch \(k\) stehen. Ansonsten stimmt die Rechnung bis dahin.

Du suchst jetzt in der Tabelle für \(n=200\) und \(p=0,3\) den ersten Wert, der größer als 9500 ist (es werden in den Tabellen immer vier Nachkommastellen angegeben, also entspricht 9500 der Wahrscheinlichkeit 0,9500=95%\). Bei diesem Wert kannst du jetzt ganz links das \(k\) ablesen.

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Vielen Dank, könntest du vielleicht auch schauen ob das so richtig ist ?

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Wenn \(X\in\overline{A}\) sein soll, muss aber \(X>k\) gelten. Das ist bei dir nicht der Fall.

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Ich habe das jetzt so gemacht habe die 1 — vergessen, muss ich im Tafelwerk die 69 oder 70 suchen weil ich habe die 69 aber Chatgpt nimmt den Wert bei 70?

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Das Gegenereignis von \(X\geq 70\) ist \(X\leq 69\). Das passt also.

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@Apfelmännchen kann man sich merken, dass wenn der Annahme und ^{Ablehnungsbreich} gegebenen ist dass k immer die erste Zahl von Ablehnungsbereich ist ?

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Das hängt davon ab, wie ihr das definiert habt. Wenn man \(P(X \geq k) \leq \alpha \) nutzt, gehört \( k \) zum Ablehnungsbereich. Analog für \( \leq \).

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Wir haben das so definiert Links:

Und rechts so:

Das ist mir halt aufgefallen das k immer die erste Zahl vom Ablehnungsbereich ist

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Nein, rechts gehört das \( k \) nicht zum Ablehnungsbereich. Dort beginnt er erst bei \( k+1 \).

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Rechts gehört das \( k \) nicht zum Ablehnungsbereich. Dort beginnt er erst bei \( k+1\)

Aber dann wird ja dann -1 berechnet und dann ist ja k wieder im Ablehnungsbereich  oder Aufgrund des - 1 ?

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Es ist \(k+1\) im Ablehnungsbereich, aber \(k\) selbst nicht. Wenn also \(k=5\) ist, lehnt man ab 6 ab und nicht ab 5.

Answer 2

Ich würde die erste Näherung mit der Normalverteilung machen

n = 200 ; p = 0.3

K = n·p + 1.645·√(n·p·(1 - p)) = 200·0.3 + 1.645·√(200·0.3·(1 - 0.3)) = 70.66

Das prüfst du jetzt mit der Binomialverteilung

P(X <= 70) = 0.9458
P(X <= 71) = 0.9604

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Hier noch eine Skizze

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Nach Anschaffung einer neuen Maschine behauptet der Hersteller, dass der Anteil fehlerfreier Bälle auf über 65% gestiegen ist (Gegenhypothese). Zur Überprüfung wird ein Signifikanztest mit 100 zufällig ausgewählten Bällen durchgeführt.

a) Sind mindestens 70 Bälle fehlerfrei, so geht man von einer verbesserten Maschine aus. Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.

H0: p ≤ 0.65 ; H1: p > 0.65

α = P(x ≥ 70 | n = 100 ; p = 0.65) = 0.1730

b) Ermitteln Sie den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 5%-Niveau.

K = n·p + 1.645·√(n·p·(1 - p)) = 100·0.65 + 1.645·√(100·0.65·(1 - 0.65)) = 72.85

P(X ≤ 72 | n = 100 ; p = 0.65) = 0.9442
P(X ≤ 73 | n = 100 ; p = 0.65) = 0.9649

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Für was steht das K

K = n·p + 1.645·√(n·p·(1 - p)) = 200·0.3 + 1.645·√(200·0.3·(1 - 0.3)) = 70.66

Was wurde da berechnet?

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K steht für den kritischen Wert. Wir hatten den damals immer mit K geschrieben. Und ich berechne ihn näherungsweise mit der Normalverteilung. Dann erspart man sich ein Herumprobieren mit dem Taschenrechner, wenn der diesen Wert wie ein CAS/MMS nicht direkt berechnen kann.

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Kannst du dir bitte mal anschauen wie das hier geht, ich komme auf 1 - P(x<3) = 0,7748

Die Lösung macht das aber ohne Minus und kommt auf P(x<3) =0, 22516 kannst du mir sagen was richtig ist

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Es liegt ein rechtsseitiger Test vor und gesucht ist der Fehler 2. Art (Vermutung \(H_1\) wird fälschlicherweise abgelehnt). Es wird dann die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Stichprobe in den Annahmebereich der Nullhypothese, hier also \(X<3\), fällt. Hast du die Hypothesen vorher aufgestellt?

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Ich hätte ja gedacht es wär ein linksseitiger test mit H0 p≥ 25% , Ablehnungsbereich X≤3

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Nein, die Vermutung stellt immer die Gegenhypothese dar. Auch deutet der Satz:

Wenn in einer Stichprobe vier ober mehr [...] soll die Vermutung als bestätigt gelten.

auf einen rechtsseitigen Test hin, weil in diesem Fall die Nullhypothese abgelehnt wird.

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Also wäre H1: p>0,25? Und der Ablehnungsbereich beginnt bei 4, wobei der Erwartungswert 5 ist. Ist das plausibel?

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Ja stimmt, das passt nicht so ganz.

Aber unabhängig von der Wahl der Hypothesen geht es um die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Und das ist nach Aufgabe eben genau dann der Fall, wenn \(X<3\) gilt.

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Ich denke H0: p≥0.25, H1 p<0,25

Mit Vermutung (siehe ersten Satz der Aufgabenstellung) ist hier H0 gemeint. Der Ablehnungsbereich ist X≤3 (nicht <3).

Gesucht ist der Fehler 1.Art, von 2. Art lese ich nichts in der Aufgabenstellung. man kann ihn ohne Kenntnis der wahren Wahrscheinlichkeit auch nicht berechnen, meine ich.

Der Fehler 1. Art beträgt 0,2252, wie in der Lösung angegeben,(was dasselbe ist wie 1-0,7748, Maxi hat also richtig gerechnet).

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Wie user26605 es erklärt hat ist es richtig.

a) Geben Sie hierfür eine mögliche Nullhypothese H0 und den Ablehnungsbereich von H0 an.

H0: p ≥ 0.25 ; H1: p < 0.25
Der Ablehnungsbereich von H0 ist das Intervall [0, 3].

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Vermutung abgelehnt wird, obwohl sie zutrifft.

P(X ≤ 3 | n = 20 ; p = 0.25) = 0.2252

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Mein Tipp ist sich immer die Verteilung anzusehen und dann zu überlegen, ob es eher ein rechts oder ein linksseitiger Test ist. Dabei nimmt man bei Eintreten des Erwartungswertes bzw. dem Ereignis mit der größten Wahrscheinlichkeit immer die Nullhypothese an.

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Noch eine kurze Frage, stärkste Abnahme eine Funktion berechnen, wenn ich die zweite Ableitung bilde, und es kommen 2 Nullstel raus z. B. -3 und 5 ist die negative Zahl immer die stärkste Abnahme und 5 die stärkste Zunahme?

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Noch eine kurze Frage, stärkste Abnahme eine Funktion berechnen, wenn ich die zweite Ableitung bilde, und es kommen 2 Nullstel raus z. B. -3 und 5 ist die negative Zahl immer die stärkste Abnahme und 5 die stärkste Zunahme?

Nein. Die x Koordinate hat damit nichts zu tun. Die hat ja auch nichts damit zu tun ob etwas ein Hoch oder Tiefpunkt ist.

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Stärkste Abnahme ist doch der WP also x Koordinate von der Nullstelle der zweiten Ableitung?

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Es könnte eine lokale größte Zu- oder Abnahme der Funktionswerte sein oder aber auch einfach nur ein Flachpunkt. Die x-Koordinate gibt keinen Aufschluss darüber was dort genau ist.

Vergleiche dazu einfach beide folgenden Funktionen

Bei x = -3 muss nicht die lokal stärkste Abnahme der Funktionswerte vorliegen.

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Die stärkste Ab- bzw. Zunahme ist der zugehörige Funktionswert der ersten Ableitung. Das habe ich bei deiner anderen Frage aber auch erläutert. Vielleicht solltest du lieber dort nachfragen.

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Scheiße, dann habe ich es heute falsch gemacht in der Prüfung, könnte schwören, dass ich gelesen habe, dass die stärkste Zunahme der Wendepunkt ist. Das war es wohl mit zweistellig