Länge eines transformierten Vektors -> Zusammenhang Eigenwerte

Question

||Ax||

 = sqrt(x_t A^t A x)

= sqrt(x^t V^t \Lambda V x)

= sqrt(<\Lambda V x, V x>)

= sqrt(<\Lambda x, x>) , da V orthogonal und somit Längen und Winkeltreu ist

= ||\Lambda x||

Meine erste Frage wäre ob ich hier irgendwo Quatsch gemacht habe?

Meine zweite Frage ist, ob ich somit zeigen könnte, dass gegeben ||x|| = 1, \lambda_n <= ||Ax|| <= \lambda_1,

wobei \lambda_1 der größte und \lambda_n der kleinste Eigenwert ist

Answer 1

Ja, Quatsch gemacht.

Das zweite =-Zeichen stimmt nicht. Was ist denn \(V\)? Prüfe den Zushg zwischen \(A, V\) und \(\lambda\) nochmal. Vermutlich sollte irgendwo \(\lambda^2\) auftauchen.

Wenn \(\lambda\) EW von \(A\) ist und \(x\) EV dazu, dann gilt \(\|Ax\|=\|\lambda x\|\), aber nicht die Umformungen dazwischen (die man dann auch gar nicht braucht).

Wg \(\|\lambda x\|=|\lambda|\, \|x\|\) kannst dann schließen, dass \(|\lambda_{min}|\le \|Ax\|\le |\lambda_{max}|\) gilt, falls \(\|x\|=1\) und \(\lambda_{min}\) der betragskleinste EW ist und \(\lambda_{max}\) der betragsgrößte.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Die Idee ist, dass A^t A ja eine symmetrische Matrix ist. Diese will ich dann diagonalisieren. Also wären V und V^t orthogonale Matrizen und auf der Diagonale von \Lambda würden sich die Eigenwerte von A^t A wiederfinden.

Ich vermute, dass es = sqrt(x^t V \Lambda V x) sein müsse und nicht sqrt(x^t V^t \Lambda V x) korrekt?

x ist beliebig und somit nichts zwangsläufig ein Eigenvektor von \lambda sondern lediglich ein Vektor der Länge 1, welcher laut Aufgabenstellung im Bild von A^T liegt.

Wenn x ein Eigenvektor wäre kann ich deinen Beweis nachvollziehen.

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Poste mal die Aufgabe vollständig im Original. Eigene Umschreibungen in Prosa sind missverständlich.

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Also, nehmen wir mal beliebiges \(x\), und \(A^TA\) sei orthogonal diagonalisiert mit \(V\) bzw. \(\Lambda\) (verwende bitte LaTeX).

Dann stimmen die ersten drei =-Zeichen, aber das vierte und fünfte nicht (probiere einfache Zahlenbeispiele).

Und auch Dein Endergebnis, also allgemein \(\sqrt{\|Ax\|} =\|\Lambda x\|\) für bel. \(x\) stimmt nicht.

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Text erkannt:

3. Singulärwerte II (10 Punkte). Es sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) und \( \sigma_{r} \) sei der kleinste Singulärwert von \( A \). Zeigen Sie
\( \sigma_{r}=\min _{\substack{x \in \operatorname{Im}\left(A^{T}\right) \\\|x\|=1}}\|A x\| \)

Hinweis: Ist \( A=U \Sigma V^{T} \) eine reduzierte Singulärwertzerlegung, dann gilt
\( \operatorname{Im}\left(A^{T}\right)=\operatorname{Span}\left\{v_{1}, \ldots, v_{r}\right\} \)

Dabei sind \( v_{1}, \ldots, v_{r} \) die orthogonalen Spalten von \( V \).

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Darauf wäre ich jetzt nicht gekommen. Oberste Regel beim Fragenstellen: Stets die Aufgabenstellung beilegen, ungekürzt im Original. Jedes(!) Mal.

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Das hier war die Aufgabe (ich brauche keine Lösung. Es geht mir mehr um meinen Ansatz und das Verständiss wo ich falsch liege). Die Idee war bei dem 4ten Gleichheitszeichen die Orthogonalität wie folgt auszunutzen:

Text erkannt:

\( \langle Q x, Q y\rangle=\langle x, y\rangle \).

Mein Problem ist allerdings das da noch die Matrix mit den Eigenwerten von $$A^t A$$ steht.

Liege ich recht in der Annahme, dass meine vierte Gleichung, wo $$<\Lambda A x, A x>$$

x in einen Vektorraum abgebildet, dort skaliert und anschließend zurücktransformiert wird nunmal nicht das selbe ist, wie wenn ich im ursprünglichen Vektorraum skaliere?

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Es ging mir wie gesagt nur um meine Umformung aber ich werde zukünftig auch generell die Aufgaben dazu tun. Vielen Dank für den Hinweis

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Gleichung.. nicht dasselbe ist wie... ??? Wenn Du damit das vierte =-Zeichen meinst (bitte sag das dann), dann sagte ich ja schon, dass das falsch ist.

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ja genau =- Zeichen.

Dankeschön