Zusammenhang Lösungsmenge der Matrix und ihrer Eigenwerte?

Question

Aufgabe: Zusammenhang Matrix Lösungsmenge und Eigenwert

Klausurfrage: Sei eine nxn – Matrix. Sie haben das dazugehörige lineare Gleichungssystem
A*  \( \vec{x} \) =  \( \vec{b} \) gelöst und festgestellt, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Können Sie
ohne weitere Rechnung einen Eigenwert von angeben?

Problem/Ansatz:

Bei unendlichen vielen Lösungen bildet die Matrix nach Gauß ja eine komplette Nullzeile, womit ich den Rang berechnen könnte.

Aber wo ist die Verbindung zwischen Lösungsanzahl und Eigenwerten?

Comments

Was bedeutet denn dir Information für das homogene System?

Answer 1

Aloha :)

Wenn ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, ist die Determinante der Koeffizienten-Matrix gleich Null. Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte. Daher muss die Koeffizientenmatrix den Eigenwert \(0\) haben.

Answer 2

Eine Matrix hat keine Lösung. LGSe haben eine (oder keine oder unendlich viele).

Ja, nach den Gauß-Umformungen hast Du eine Nullzeile, klar. Was weißt Du dann über den Rang, und was über die Determinante? Und was hat die Determinante mit Eigenwerten zu tun?