Aufgabe:
Sei \( v \in \mathbb{R}^n \) mit \( ||v||=1 \). Wir definieren für \(u \in \mathbb{R}^n \) \(Pu := \langle u, v \rangle v \).
Zeige, dass \(||u||^2 = ||Pu||^2 + ||u-Pu||^2 \). Warum gilt \(||u|| \ge ||Pu|| \)
Problem/Ansatz:
Ich habe mal versucht, die Terme einzeln zu berechnen und bekam das hier heraus:
\(||u||^2 = \langle u,u \rangle \) und \(||Pu||^2 = \langle u, v \rangle^2 \) und \(||u-Pu||^2 = \langle u,u \rangle - 3\langle u,v \rangle^2 \). Das Problem ist, dass es nicht hinkommt, deshalb wollte ich hier mal nachfragen, welchen Term ich falsch berechnet habe.
