Zeigen Sie, dass Folgendes für die Norm eines Vektors u gilt: ||u|| = ||Pu||^2+||u-Pu||^2

Question

Aufgabe:

Sei \( v \in \mathbb{R}^n \) mit \( ||v||=1 \). Wir definieren für \(u \in \mathbb{R}^n \) \(Pu := \langle u, v \rangle v \).

Zeige, dass \(||u||^2 = ||Pu||^2 + ||u-Pu||^2  \). Warum gilt \(||u|| \ge ||Pu|| \)

Problem/Ansatz:

Ich habe mal versucht, die Terme einzeln zu berechnen und bekam das hier heraus:

\(||u||^2 = \langle u,u \rangle \) und \(||Pu||^2 = \langle u, v  \rangle^2 \) und \(||u-Pu||^2 = \langle u,u \rangle - 3\langle u,v \rangle^2 \). Das Problem ist, dass es nicht hinkommt, deshalb wollte ich hier mal nachfragen, welchen Term ich falsch berechnet habe.

Answer 1

Die 3 stimmt nicht. Du hast das "minus" vor der Klammer nicht bedacht. Da gibt es in der

Klammer + und aus der -3 wird eine -1.