Nullstellensatz bzw. Zwischenwertsatz: Zeige, dass f mindestens 2 Nullstellen hat in [-3,3].

Question

hallo zusammen,

ich habe diese aufgabe :

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x)=x^{4}+x^{3}-\sqrt{x^{2}+2}-4 x^{2}-4 x+1 . \) Zeigen Sie: \( f \) hat (mindestens) zwei Nullstellen im Intervall \( [-3,3] . \) Welchen Satz benutzen Sie? Warum dorten Sie inn benutzen?

ich muss hier den zwischenwertsatz anwenden.aber ich weis nicht wie.

danke schonmal im  voraus

Comments

Ok, ich habe nichts gerechnet, ich rate mal:

(1) f(-3) und f(3) haben das  gleiche Vorzeichen

(2) Es ist irgendwie offensichtlich, dass es ein a zwischen -3 und 3 gibt, so dass f(a) ein anderes Vorzeichen hat.

Check das mal ab und falls das zu nichts führt, können wir ja mal weiter schauen.

Answer 1

Berechne F(-3), F(0) und F(3). F(-3) ist positiv, F(0) negativ und F(3) positiv. Also hast Du wegen des Zwischenwertsatz Nullstellen im Intervall \( [-3, 0] \) und \( [0, 3] \)