Aufgabe:
Beweisen oder widerlegen Sie, dass \( f \) einen Fixpunkt auf \( \mathscr{D}(f) \) besitzt.
(i) \( f(x):=e^{-\cos (\sqrt{x})} \) auf \( \mathscr{D}(f)=\left[0, \pi^{2}\right] \),
(ii) \( f(x):=\left\{\begin{array}{lll}1-x^{2} & : & x \neq \frac{1}{2} \\ 0 & : & x=\frac{1}{2}\end{array}\right. \)
auf \( \mathscr{D}(f)=[0,1] \).
Lösungen:
(i) Nach dem Fixpunktsatz (Corollar 6.28) besitzt \( f \) einen Fixpunkt auf \( \mathscr{D}(f) \).
(ii) \( x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \) ist ein Fixpunkt von \( f \) auf \( \mathscr{D}(f) . \)
Ansatz/Problem:
Nun ist das sicherlich keine schwere Aufgabe, aber mich irritiert bei (ii), dass f(0)=0 also 0 kein Fixpunkt ist, der müsste doch eig. auf dem Intervall zugelassen sein bzw. somit auch eine Lösung darstellen?
