Gegeben seien \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, g_{1}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{n_{1}} \) und \( g_{2}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{n_{2}} \) mit \( n_{1}+n_{2}=n \). Wir schreiben \( f(y)=f\left(y_{1}, y_{2}\right) \) für \( y_{j} \in \mathbb{R}^{n_{j}}, j=1,2 \), und \( y=\left(y_{1}, y_{2}\right)^{\top} \). Die Funktionen \( g_{1}, g_{2} \) seien in \( a \in \mathbb{R}^{k} \) differenzierbar, und \( f \) sei in \( b=\left(g_{1}(a), g_{2}(a)\right)^{\top} \) differenzierbar mit \( D f(b)=\left[A_{1}, A_{2}\right], A_{j} \in \mathbb{R}^{m \times n_{j}} \).
(a) Zeigen Sie auf zwei Arten, dass \( h: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \), definiert durch \( h(x)=f\left(g_{1}(x), g_{2}(x)\right) \) in \( x=a \) differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung. Benutzen Sie einerseits direkt die Definition der Ableitung und andererseits die Kettenregel.
(b) Es seien \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( g, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig differenzierbar. Bestimmen Sie die Ableitung
\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int \limits_{g(x)}^{h(x)} f(t, x) \mathrm{d} t . \)
