Bestimmen Sie den Kern und den Rang von A und Basis von Kern und Bild

Question

a) Bestimmen Sie den Kern und den Rang von A

b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis vom Kern und Bild und geben Sie die Dimensionen dieser beiden Unterräume an

A = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Hallo,

zur a) habe ich ker(A) = { t \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \), t∈ℝ}, aber bin mir nicht sicher, ob das richtig ist.

Und Rang(a) = 3

b) Ist die Basis von Im(a) = {\( \begin{pmatrix} -1\\-1\\0\\2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)} und somit die dim(Im(A)) = 3?

Wäre die Basis vom Kern wie bei der a), also \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\ 0 \end{pmatrix} \) und somit die dim(ker(A)) = 1?

Ich wäre für den richtigen Lösungsweg und Schreibweise dankbar, falls meine Lösungen nicht stimmen :)

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe die Matrix \(A\) auf und daneben eine Einheitsmatrix mit so vielen Spalten wie die Matrix \(A\) hat. Dann bringe ich die Matrix \(A\) durch elementare Umformungen auf Dreieckform und führe alle dazu durchgeführten Umformungen auch an der rechtsstehenden Matrix aus. Am Ende dieses Verfahrens werden wir direkt eine Basis des Bildes und eine Basis des Kerns erhalten. Weil es sich hier anbietet, wähle ich zur Umformung elementare Spaltenumformungen.

$$\left(\begin{array}{r} & +S_1 & -S_1\\\hline 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r} & +S_1 & -S_1\\\hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r} & & -S_4&\cdot(-1)\\\hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r} & & -S_4 & \cdot(-1)\\\hline 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}+\frac{2}{3}S_3 & & : 3& \\\hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}+\frac{2}{3}S_3 & & : 3& \\\hline 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & & \vec b_2 & \vec b_3 \\\hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r} & \vec k_1 & & \\\hline \frac{1}{3} & 1 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ -\frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} & -1 \end{array}\right)$$Wir finden 3 Basisvektoren \(\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3\) für das Bild und einen Basisvektor \(\vec k_1\) für den Kern.

Den Basisvektor für den Kern hast du genauso und die Basisvektoren für das Bild kann man in die hier überführen und umgekehrt. Mit anderen Worten, du hast richtig gerechnet\(\quad\checkmark\).