Aufgabe: Sei ||•|| eine Norm auf ℂn. Sei B eine invertierbare n x₋ n- Matrix. Wir definieren eine Abbildung ||•||B: ℂn → ℂ durch ||x||B = ||Bx||. Zeigen sie ||•||B ist eine Norm.
Problem/Ansatz:
Um zu zeigen, dass ||•||B (ab jetzt als ||•|| abgekürzt) eine Norm ist müssen drei Eigenschaften gezeigt werden. Ich habe bereits N1: ||x|| = 0 ⇔ x=0 und N2: ||λx|| = λ||x|| gezeigt.
Bei der N3: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, komme ich nicht weiter. Mein Ansatz bisher ist:
||x +y||2 = ||Bx + By||2 = ⟨Bx + By, Bx + By⟩ = ⟨Bx, Bx⟩ + ⟨By, By⟩ + ⟨Bx, By⟩ + ⟨By, Bx⟩ = ||x||2+ ||y||2 + ⟨Bx, By⟩ + ⟨By, Bx⟩
Nun müsste ich ⟨Bx, By⟩ + ⟨By, Bx⟩ ≤ 2* ||y||*||x|| abschätzen um auf mein gewünschtes Ergebnis zu kommen. Hier komme ich allerdings nicht weiter. Ich bin mir allerdings auch unsicher ob ich ⟨Bx + By, Bx + By⟩ = ⟨Bx, Bx⟩ + ⟨By, By⟩ + ⟨Bx, By⟩ + ⟨By, Bx⟩ so umformen darf. Würde mich über Anregungen freuen.
