Durch die Dimensionsformeln wissen wir, dass dim(Bild (φ))= dim(F(U))
Dazu braucht man die Dimensionsformel nicht. Das folgt direkt aus Bild (φ) = F(U)
und es folg das der rang(Bild (φ)) = ...
Das ergibt keinen Sinn. Bild (φ) ist eine Menge von Vektoren. Mengen von Vektoren haben keinen Rang. Lineare Abbildungen und Matrizen haben einen Rang.
F: KN →KN mit F(U) = Bild (φ)
Wegen U ⊆ KN ist
F(U) ⊆ F(KN).
Wegen F(KN) = Bild(F) folgt daraus
F(U) ⊆ Bild(F)
und mit F(U) = Bild(φ) ist somit
Bild(φ) ⊆ Bild(F).
Also ist
dim(Bild(φ)) ≤ dim(Bild(F))
und somit
rang(φ) ≤ rang(F).