Rang Ungleichung/Gleichung aufschreiben

Question

Wie hängen der rang von φ und der Rang einer linearen Abbildung F: K^N →K^N mit F(U) = Bild (φ) zusammen=

Schreiben Sie eine Ungleichung oder Gleichung hin.

Problem/Ansatz:

U ist eine Teilmenge von Kⁿ   Durch die Dimensionsformeln wissen wir, dass dim(Bild (φ))= dim(F(U)) ist und es folg das der rang(Bild (φ)) = rang (F(U)) sein muss.

Warum gilt aber dann rang (F) ≥ rang(φ) ?

Comments

Durch die Dimensionsformeln wissen wir, dass dim(Bild (φ))= dim(F(U))

Dazu braucht man die Dimensionsformel nicht. Das folgt direkt aus Bild (φ) = F(U)

und es folg das der rang(Bild (φ)) = ...

Das ergibt keinen Sinn. Bild (φ) ist eine Menge von Vektoren. Mengen von Vektoren haben keinen Rang. Lineare Abbildungen und Matrizen haben einen Rang.

F: K^N →K^N mit F(U) = Bild (φ)

Wegen U ⊆ K^N ist

        F(U) ⊆ F(K^N).

Wegen F(K^N) = Bild(F) folgt daraus

      F(U) ⊆ Bild(F)

und mit F(U) = Bild(φ)  ist somit

      Bild(φ) ⊆ Bild(F).

Also ist

      dim(Bild(φ)) ≤ dim(Bild(F))

und somit

      rang(φ) ≤ rang(F).

Answer 1

Rang (φ) ist doch <=rang (Bild(φ) etwa wenn Kern von φ >0

lul