Abbildung R^n in R^n injektiv, wenn Kern (M(f)) = 0

Question

Aufgabe:

Zeige, dass eine lineare Abbildung f: \( R^{n} \) -> \( R^{n} \) injektiv ist, wenn Kern (M(f)) = 0

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass eine lineare Abbildung ein Isomorphismus ist, wenn sie von einem  \( R^{n} \)  in einen \( R^{n} \)  abgebildet wird, d.h. f injektiv und surjektiv ist. Aber wie genau soll ich das zeigen? Außerdem weiß ich, dass der Kern einer Matrix berechnet werden kann in dem man ein LGS mit dessen Zeilen löst und das Ergebnis für die n Zeilen jeweils mit Lambda multipliziert. Leider komme ich nicht auf die Lösung. :(

Answer 1

Hallo Maceline,

Sei Kern(f) = 0   ,  x , y ∈ ℝⁿ

f(x)  = f (y)  

⇔  f(x) - f(y)  = 0

⇔   f(x - y)    = 0    ( f ist linear! )

⇔     x - y =  0      ( Kern(f) = 0 ! )

⇔     x = y

→   f ist injektiv 

Gruß Wolfgang

Comments

Kern (M(f)) = 0

Die Fragestellung enthält noch ein M, das vielleicht (?) für Matrix steht. Vgl. https://www.mathelounge.de/500781/lineare-abbildung-bild-darstellungsmatrix-wenn-surjektiv

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das vielleicht (?) für Matrix steht

so habe ich es auch interpretiert.

Ich denke nicht, dass zwischen dem Kern einer linearen Abbildung und dem Kern ihrer Darstellungsmatrix ein Unterschied besteht.

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Gut, wenn du das so denkst (daran ist wohl nichts falsch). Mit dieser Interpretation haben wir gestern wohl wiedermal ein (Beinahe-) Duplikat dieser Frage gesehen und beantwortet.