A ist eine reelle m x n- Matrix: Injektivität wenn Kern(A) = 0?

Question

Zu beweisen: A ist eine reelle m x n- Matrix:

$$ f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, \quad x \mapsto A x $$

Wie kann ich beweisen, dass f genau dann injektiv ist, wenn \( \operatorname{Kern}(A)=\{\overrightarrow{0}\} \)

Wobei \( \overrightarrow{0} $$ den Nullvektor aus $$ \mathbb{R}^{n} \) bezeichnet?

Answer 1

Aloha :)

Zu zeigen: \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\, \vec x\mapsto A\vec x\)    ist injektiv \(\;\;\Leftrightarrow\;\;\) Kern\((A)=\{\vec 0_n\}\)

Hinrichtung "\(\Rightarrow\)"

Wegen \(A\cdot\vec 0_n=\vec 0_m\) wird \(\vec 0_n\in\mathbb{R}^n\) auf \(\vec 0_m\in\mathbb{R}^m\) abgebildet. Daher ist \(\vec 0_n\in\text{Kern}(A)\). Da \(f\) nach Voraussetzung injektiv ist, wird auf jedes Element der Wertemenge höchstens ein Element der Definitionsmenge abgebildet. Es gibt daher kein weiteres Element aus \(\mathbb{R}^n\), das auf \(\vec 0_m\) abbildet. Das heißt \(\text{Kern(A)}=\{\vec 0_n\}\).

Rückrichtung "\(\Leftarrow\)"

Wir nehmen an, es gibt 2 Elemente \(\vec x_1,\vec x_2\in\mathbb{R}^n\), die denselben Funktionswert haben, dann gilt:$$f(\vec x_1)=f(\vec x_2)\;\;\Rightarrow\;\;A\vec x_1=A\vec x_2\;\;\Rightarrow\;\;A(\vec x_1-\vec x_2)=\vec 0_m$$Da nach Voraussetzung Kern\((A)=\{\vec 0_n\}\) ist, muss \(\vec x_1-\vec x_2=\vec 0_n\) bzw. \(\vec x_1=\vec x_2\) gelten. Das heißt, es gibt keine zwei verschiedenen Elemente aus \(\mathbb{R}^n\), die dasselbe Bild haben. \(f\) ist also injektiv.

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Vielen vielen Dank!

Answer 2

Hallo

wie groß ist den dann dim(Bild)?Du kennst doch hoffentlich den Dimensionssatz :dim V = dim{ker}(f) + dim{im}(f)

Gruß lul

Comments

dim(Bild) ist nicht angegeben. Das ist eher eine theoretische Frage.

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lul schreibt in der Antwort, dass du den Dimensionssatz verwenden sollst. Das ist Theorie.