0 Daumen
370 Aufrufe

Aufgabe:

A=\( \begin{pmatrix} 6x &+ 3y &- 5z \\1x &+ y &- z \\ 2x &- y &  \\  &9y &- 2z \\ \end{pmatrix} \)

Bestimme Kern(A) und prüfe ob A injektiv ist.


Problem/Ansatz:

Wie soll ich den Kern bestimmen? Ich komm leider nicht zu einer Zeilenstufenform.
Wie kann ich prüfen, ob etwas, in dem Fall die Aufgabe, injektiv ist?

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Bestimmung des Kerns

Der Kern enthält alle Vektoren \((x;y;z)^T\), die auf den Nullvektor abgebildet werden:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline6 & 3 & -5 & 0 &-6 Z_2\\1 & 1 & -1 & 0 \\2 & -1 & 0 & 0 & -2Z_2\\0 & 9 & -2 & 0\\\hline0 & -3 & 1 & 0 &\\1 & 1 & -1 & 0 \\0 & -3 & 2 & 0 &-Z_1\\0 & 9 & -2 & 0 & +3Z_1\\\hline0 & -3 & 1 & 0 &-Z_3\\1 & 1 & -1 & 0 &+Z_3 \\0 & 0 & 1 & 0 &\\0 & 0 & 5 & 0 &-5Z_3\\\hline0 & -3 & 0 & 0 &\div(-3)\\1 & 1 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 1 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline0 & 1 & 0 & 0 &\\1 & 1 & 0 & 0 &-Z_1\\0 & 0 & 1 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline0 & 1 & 0 & 0 &\Rightarrow y=0\\1 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x=0\\0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow z=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\end{array}$$Die 4-te Gleichung ist immer erfüllt, die ersten 3 Gleichungen liefern: \(\pink{\text{Kern}(\alpha)=\{0\}}\).

Prüfen auf Injektivität

Seien \(x,y\in V\) mit \(\alpha(x)=\alpha(y)\), dann gilt:$$\alpha(x)=\alpha(y)\implies0=\alpha(x)-\alpha(y)\stackrel{(\text{\(\small \alpha\) linear})}{=}\alpha(x-y)\implies x-y\in\pink{\text{Kern}(\alpha)}$$$$\phantom{\alpha(x)=\alpha(y)}\implies x-y=\pink{0}\implies x=y$$

Weil der Kern ausschließlich die \(0\) enthält (bzw. den Nullvektor), ist \(\alpha\) injektiv.

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Sortiere erstmal die Gedanken. Eine Aufgabe kann nicht injektiv sein.

Eine lin. Abb. kann man als Funktionsvorschrift angeben, oder als Matrix. Du hast beides kombiniert, das läd natürlich Verwirrung ein.

Wenn Du Dich für die Matrixform entscheidest: Da hat x,y,z nichts drin zu suchen. Und dann, ja, auf ZSF bringen. Bei mir klappt das.

Eine lin.Abb. ist injektiv \(\iff kern\, A \neq \{0\}\).

Der Nullvektor ist stets im Kern. Wenn man also einen zweiten Vektor im kern findet, kann die Abb. nicht injektiv sein. Daher brauchst Du auch kein LGS komplett zu lösen, sondern nur eine Lösung finden.

Avatar von 9,8 k
0 Daumen

Für die letzten 3 Zeilen der Koeffizientenmatrix gilt$$\det\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\2&-1&0\\0&9&-2\end{array}\right)=-12\neq 0$$Damit hat die Matrix mindestens den Rang 3, also

maximalen Rang und hat damit einen Kern der Dimension 0,

Die lineare Abbildung ist also injektiv.

Avatar von 29 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community