Sortiere erstmal die Gedanken. Eine Aufgabe kann nicht injektiv sein.
Eine lin. Abb. kann man als Funktionsvorschrift angeben, oder als Matrix. Du hast beides kombiniert, das läd natürlich Verwirrung ein.
Wenn Du Dich für die Matrixform entscheidest: Da hat x,y,z nichts drin zu suchen. Und dann, ja, auf ZSF bringen. Bei mir klappt das.
Eine lin.Abb. ist injektiv \(\iff kern\, A \neq \{0\}\).
Der Nullvektor ist stets im Kern. Wenn man also einen zweiten Vektor im kern findet, kann die Abb. nicht injektiv sein. Daher brauchst Du auch kein LGS komplett zu lösen, sondern nur eine Lösung finden.