Hallo liebe Mitglieder :)
Es geht um die Matrix einer linearen Abbildung $$f: \mathbb{Z}_3^3 \rightarrow\mathbb{Z}_3^3$$ und diese sei
$$T=\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right)$$
bezüglich der Basen: $$B_1=\left( \left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)\right)$$ und
$$B_2=\left( \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\right)$$
also $$T=[f]_{B_1}^{B_2}$$
Die Fragen lauten:
1. Geben Sie die zugehörige Matrix der kanonischen Basen an.
2. Ermitteln Sie Kern von T und beschreiben Sie ihn bzgl. B1 und bzgl. kanonischer Basis.
3. Untersuchen Sie T auf Injektivität und Surjektivtät.
Eigentlich dachte ich relativ fit mit Kern und Basen zu sein. Jedoch verstehe ich nicht ganz was zu tun ist.
Zu 1. die kanonische Basis wäre doch $$E=\left( \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ o\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right)$$ aber was ist nun der "Bezug" zur Matrix?
Zu 2.: mit der Gaußzeilenform wie folgt
$$\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array}$$ mit 3-1:
$$\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$$
daran abzulesen, der
$$Kern (T)=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)$$ aber wie das ganze in "Bezug" zu Basis oder kanon. Basis?
Zu 3. Ansatz fehlt...
Ich freue mich sehr über eure Hilfe und Lösungsvorschläge!
Vielen dank vorweg :)