Warum folgt aus der Injektivität der linearen Abbildung einer Matrix, dass ker(A)=0

Question

Aufgabe:

Zu $$A\in M_{m,n}(\mathbb{R})$$ betrachte die lineare Abbildung $$\phi_A: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m, v\mapsto A\cdot v$$ $$\forall v\in\mathbb{R}^n$$

Es ist zu zeigen, dass $$\phi_A$$ genau dann injektiv ist, wenn $$ker(A)=\{0_n\}$$, also $$\phi_A \text{ "injektiv"} \Leftrightarrow ker(A)=\{0_n\}$$

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass aus der Annahme, dass der Kern 0 ist und $$\phi_A(x)=\phi_A(y)$$ folgt, dass $$x=y$$, also Injektivität folgt.

Aber wie kann man zeigen, dass aus der Injektivität folgt, dass der ker(A)=0 sein muss?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Aussage ist eigentlich sofort klar.

Jede lineare Abbildung bildet die Null auf die Null ab. Bei einer injektiven Abbildung wird jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht. Bei einer injektiven linearen Abbildung wird daher nur die Null auf die Null abgebildet.

Hier die mathematische Fassung dazu:

\(\varphi:V\to W\) mit \(V=\mathbb R^n\) und \(W=\mathbb R^m\) ist linear, d.h.:$$(1)\;\;\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)\quad;\quad\forall a,b\in V$$$$(2)\;\;\varphi(\lambda a)=\lambda \varphi(a)\quad;\quad\forall a\in V\;,\;\forall \lambda\in \mathbb R$$Bei jeder linearen Abbildung wird die \(0\) auf die \(0\) abgebildet, denn$$\varphi(0)=\varphi(0\cdot a)=0\cdot \varphi(a)=0$$

Wir zeigen: \(\quad\varphi\) injektiv \(\quad\Longleftrightarrow\quad\) Kern(\(\varphi\))=\(\{0\}\)

\("\Rightarrow"\) Wir setzen \(\varphi\) als injektiv voraus und nehmen an, es gibt ein \(a\ne0\) mit \(\varphi(a)=0\):$$\phantom{"\Rightarrow"}\varphi(a)=0\,\land\,\varphi(0)=0\quad\implies\quad \varphi(a)=\varphi(0)\quad\implies\quad a=0\;\;\text{Widerspruch}$$\(\phantom{"\Rightarrow"}\)Der Kern besteht also nur aus der \(0\).

\("\Leftarrow"\) Nun nehmen wir an, Kern\((\varphi)=\{0\}\), d.h. nur die \(0\in V\) bildet auf die \(0\in W\) ab.

\(\phantom{"\Leftarrow"}\)Seien \(a,b\in V\) mit \(\varphi(a)=\varphi(b)\), dann gilt wegen der Linearität:$$\phantom{"\Leftarrow"}\varphi(a)=\varphi(b)\;\;\implies\;\;0=\varphi(a)-\varphi(b)=\varphi(a-b)\;\;\implies\;\;a-b\in\text{Kern}(\varphi)$$$$\phantom{"\Leftarrow"}\implies\;\;a-b=0\;\;\implies\;\;a=b$$\(\phantom{"\Leftarrow"}\)Weil der Kern ausschließlich die \(0\) enthält, ist \(f\) also injektiv.

Comments

Warum folgt aus der Linearität :

phi(a)=phi(b) ist ?

Answer 2

Hallo :-)

Du brauchst nichtmal zu wissen, dass deine lineare Abbildung aus einer Matrix besteht.

Zu deiner Richtung: Sei \(\phi: V\to W\) lineare Abildung und injektiv. Dann gilt zunächst für alle \(x,y\in V\) mit \(\phi(x)=\phi(y)\) auch \(x=y\). Aus der Linearität von \(\phi\) folgt nun:

\(\phi(x)=\phi(y)\Leftrightarrow 0=\phi(x)-\phi(y)=\phi(x-y)=\phi(0)\),

sodass \(0=x-y\in \operatorname{ker}(\phi)\) folgt. Weil \(x,y \in V\) mit \(\phi(x)=\phi(y)\Rightarrow x=y\) beliebig waren, folgt \(\operatorname{ker}(\phi)=\{0\}\).

Answer 3

Hallo,

ganz kurze Version: sei \(x\in Kern(\phi)\). Dann gilt

\(\phi(x)=0=\phi(0)\). Wegen Injektivität folgt \(x=0\).

Also besteht der Kern nur aus dem Nullvektor.