Surjektivität, Injektivität und Bjiektivität bei linearen Abbildungen

Question

Hallo ihr lieben!

ich habe eine Frage zur Surjektivität, Injektivität und Bjiektivität bei linearen Abbildungen. Und zwar suche ich jeweils ein surjektives, injektives und bjiektives Beispiel zu jeder der folgenden Fälle:

R^2 -> R^2

R^2 -> R^3

R^2-> R^4

R^3->R^2

Mir ist klar, was die Begriffe bedeuten, allerdings nicht, wie man mit Hilfe dieser, Beispiele findet.

Ansätze und Lösungsvorschläge wären echt lieb!

LG,

Melina

Comments

Hallo,

geh mal bei der ersten Aufgabe davon aus, dass es bijektive Abbildungen gibt. Und denk mal an die "einfachste" bijektive Abbildung, die man sich denken kann.

Gruß0 MathePeter

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Hallo Peter,

ich bin bei der Aufgabe schon weiter gekommen :) Mir fehlt nur noch Nummer 3. Ich bin mir da nicht ganz sicher, wieso es keine injektive, aber dafür eine surjektive Abbildung geben kann.

LG, Melina

Answer 1

Hallo,

Mir fehlt nur noch Nummer 3

Aber die geht doch genauso wie 2

Jedenfalls kann man diese Frage nach der Nicht-Existenz von bestimmten Abbildungen mit dem Dimensionssatz erledigen: Für eine lineare Abbildung \(L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) gilt:

$$n= \text{dim}\text{Kern}(L)+ \text{Rang}(L)=\text{dim}\text{Kern}(L)+\text{dim}{Bild}(L)$$

Außerdem ist L injektiv genau dann, wenn Kern(L) nur das 0-Element enthält, also die Dimension 0 hat. Und L ist surjektiv genau dann, wenn das Bild maximale Dimension hat, also m.

Im 3. Fall ist n=2 und m=4. Dann kann es keine surjektive Abbildung geben. Denn aus dem Dimensionssatz folgt hier:

$$\text{dim}{Bild}(L) \leq n=2$$.

Eine injektive Abbildung wäre einfach

$$L=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}$$

Im letzten Beispiel wäre der Rang maximal gleich 2, die Dimension des Kerns also mindestens gleich 1 und L wäre nicht injektiv.

Gruß