Aloha :)
$$f\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,f(x)=x^{2n}=(x^2)^n$$
Wegen \(x^2\ge0\) ist \((x^2)^n\ge0\). Die Funktion nimmt also keine negativen Werte an, sodass nicht alle Werte der Zielmenge \(\mathbb R\) getroffen werden. Die Funktion ist daher nicht surjektiv.
Wegen \(f(-1)=1\) und \(f(1)=1\) wird der Wert \(1\) aus der Zielmenge \(\mathbb R\) mehr als 1-mal getroffen. Die Funktion ist daher nicht injektiv.
$$g\colon\{1,2,\ldots,n\}\to\{0,1,2,\ldots,n^2-1\}\,,\,g(x)=x^2-1$$
Die Funktion ist nicht surjektiv, da das Element \(2\) der Zielmenge nicht getroffen wird. Dafür müsste das Argument \(x=\pm\sqrt3\) sein, was jedoch nicht in der Definitionsmenge liegt.
Wir prüfen die Injektivität, indem wir annehmen, es gibt zwei Argumente \(x\) und \(y\), die dasselbe Ziel treffen:$$f(x)=f(y)\implies x^2-1=y^2-1\implies x^2=y^2\stackrel{(x,y\ge0)}{\implies}x=y$$Es gibt also keine zwei verschiedenen Argumente mit demselben Ziel. Daher ist die Funktion injektiv.
$$h\colon\{0,1,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n+1\}\,,\,h(x)=x+1$$
Hier kann man die Umkehrfunktion \(h^{-1}(x)=x-1\) direkt angeben. Aus ihrer Existenz folgt die Bijektivität der Funktion und daher auch die Surjektivität und die Injektivität.
