Seien \( f: X \rightarrow Y \) und \( g: Y \rightarrow X \) zwei Funktionen mit \( g \circ f=\mathrm{id}_{X} \) und \( f \circ g=\operatorname{id}_{Y} \). Zeigen Sie, dass \( f \) bijektiv ist.
Angenommen f nicht injektiv.
==> Es gibt a,b ∈ X mit a≠b aber f(a) = f(b).
==> \( (g \circ f)(a) = g(f(a)) = a \)
und \( (g \circ f)(a) = g ( f(a)) =g(f(b) = b\)
Also \( g \circ f \) nicht rechtseindeutig, also keine Funktion.
Angenommen f nicht surjektiv, dann gibt es z∈Y so, dass für
alle x∈X gilt f(x)≠z.
Aber \( (z = f \circ g)(z)=f(g(z)) \). Und es ist g(z)∈X. Also
gibt es ein Element in X, das durch \( f \circ g\) auf z abgebildet
wird. Widerspruch !
